Геометричне тлумачення похідної і диференціала

Г

Мал. 1.1.

еометричне тлумачення похідної тісно пов’язане з по­няттям дотичної. До­тич­­ною до гра­­фіка фун­кціїy = f (x)у точціМ(x₀, y₀) називають гра­ничне положення січ­ноїMN (мал. 1.1) при необме­же­ному пря­му­ванні точки Nдо точкиM, або, що те ж саме, приx 0. Не склад­но побачити з мал.1.1, що кутовий коефіцієнт січної дорівнює: .

Якщо ж точка Nпрямує доM, то січнаMNзайме граничне положення, для якого при. Таким чином, значення похідноїy' = f ' (x₀)у точціх₀визначає ку­то­вий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функціїy = f (x)у точціМ(x₀, y₀), тобто

y' (х₀) = tg . (1.6)

У цьому й полягає геометричне тлумачення похідної. Рівняння дотичної до графікафункціїу = f (х)в даній точціМ(х₀, у₀)має вигляд: у – у₀ = f ' (х₀) (х – х₀).

Як видно з мал.1.1, диференціалdyдорівнює приросту ординати дотичної, проведеної в точціMдо графіка даної функціїу = f (х).

Фізичне тлумачення похідної і диференціала

У кожній точці, де функція y = f (x)диференційована, похіднаявляє собою швидкість зміни функції у цій точці відносно аргументуx. Заміна приросту функції її диференціалом дозволяє вважати процес зміни функції лінійним відносно достатньо малих змін аргументу.

Приклад 1. Якщоs(t)– закон руху матеріальної точки, то похідна визначає миттєву швидкість на даний момент часу.

Диференціал ds = υdtвизначає шлях, який пройшла б матеріаль­на точка за часΔt = dt, рухаючись рівномірно.

Приклад 2.Аналогічно, якщоq = q(t)є закон, що визна­чає залежність заряду, який протікає через поперечний переріз провідника, від часуt, то похіднавизна­чає силу струму в момент часуt. Диференціалdq = Idtвизначає кількість електрики, яка пройшла б за проміжок часуdtпри силі постійного струмучерез поперечний переріз провідника.

Приклад 3. Якщоp(t) визначаєчисельністьпопуляції бактерій в мо­мент часуt, то– швидкість зростання популяції, аdp = p'dt– зміну чисельності популяції за достатньо малий проміжок часуdt.

1.1.2. Основні правила диференціювання

Припустимо, що u = f (x)iυ =  (x)– диференційовані функції незалежної змінноїx,c– деяка константа, тоді справедливими є такі твердження.

1. Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих фyнкцій:

(u  υ)' = u'  υ'.

2. Похідна добуткувизначається за формулою:

(u υ)' = u'υ + u υ'.

3. Похідна частки:

.

4. Постійний множник можна винести за знак похідної:

(cu)' = cu'.

Правила обчислення диференціала такі ж, як і правила обчислення похідних (звідси термін диференціювання) – диферен­ціал відрізняється від похідної лише на множникdх.

1.1.3. Таблиця похідних основних елементарних функцій

Обчислення похідної, а, отже, і диференціала безпосе­редньо за означенням достатньо громіздке. Наведемо ряд результатів, які дозволяють значно спростити процедуру диференціювання.

1. (xn)' = n xn–1	7. (arccos x)' =–
2. (sin x)' = cos x	8. (ax)' = ax ln a
3. (cos x)' = – sin x	9. (ex)' = ex
4. (tg x)' =	10. (arctg x)' =
5. (ctg x)' =	11. (arcctg x)' =–
6. (arcsin x)' =	12.(ln x)' = (x > 0)
13. (logax)' =(x > 0, a > 0)