78 Елементи диференціального числення Розділ 1. Математична обробка медико-біологічної інформації

“…В наступні роки я не міг пробачити собі той недолік витримки,який не дозволив мені подолати математику,щоб розібра­тися в її великих керівних принципах.У людей,що засвоїли ці принципи,на один орган почуттів більше,ніж у звичайних смерт­них.”

Чарльз Дарвін

У цьому розділі в дуже стислій формі зроблена спроба ознайомити студентів-медиків з деякими основними розді­ла­ми вищої математики, а саме: елементами диферен­ціального та інтег­раль­ного числень, теорії ймовірностей та математичної статистики. Посібник містить короткі теоре­тич­ні відомості, що становлять основу цих розділів, а також невеликий практикум з вищої матема­тики (приклади з розв’язками і завдання для самостійної роботи).

Прикро, але в навчальних планах вищих медичних навчальних закладів України (за винятком фармацевтичних інститутів) досі ще не знайшлося місця для більш деталь­ного вивчення такої великої і мудрої науки, якою є вища математика. Автори вважають, що подібна ситуація не може бути нормальною, і з часом вона зміниться на кращу. Без оволодіння фундаментальними знаннями, що базу­ють­ся на сучасних досягненнях природничих наук, не можна навіть мріяти про успіх реформи медичної освіти. Слова, що винесені в епіграф, ще раз підтверджують цю думку.

Список рекомендованої літератури з вищої математики, що міститься в кінці першого тому, дозволяє допитливим студентам зазирнути в чудовий світ гармонії й краси, який віддзеркалюється яскравими математичними барвами в будь-якій дисципліні, що претендує на високу назву “нау­ка”.

1. Елементи диференціального числення

1.1.1.Похідна та диференціал функції

Нехай функція y = f (x) визначена і неперервна в околі деякої точ­киx₀. Нагадаємо, що функціюy = f (x)називаютьнеперервноюв точ­ціx₀, якщо нескінченно малому приросту аргументуx = x – x₀ від­повідає нескінченно малий прирiст функціїy = f (x₀ + x) – f(x₀): .

Похідною y' від функції y = f(x) по аргументу x нази­вається границя відношення приросту функції y до приросту аргументу x за умови, що приріст аргументу нескінченно малий x  0, тобто

. (1.1)

Позначення похідної: f'(x),y', y'_х, ,,.

Процедуру знаходження похідної називають диференці­юван­ням функції.

Приклад. Функція= x² має скінченну похідну при будь-яко­му дійсномуx. Справді, для довільногоx маємо:

= 2x.

Якщо функція y = f (x)диференційована, то згідно з оз­на­чен­ням по­хід­ної її прирістyможна подати у вигляді граничного значенняy'і нескінченно малої величини, яка міститьΔxі зникає при Δx  0, тобто

Δy = y'Δx +  (Δx) Δx. (1.2)

Головна частина приросту функції Δy, що дорівнює добутку похідноїy'на приріст аргументуΔx,називаєтьсядиференціалом функціїdу:

.

Можна сказати, що диференціал dу – це лінійна части­на приросту функції, оскільки добуток (Δх)Δх – величи­на нелінійна відносно Δх.

Чому ж дорівнює диференціал незалежної змінної х? Згідно з означеннямdx = x'Δx, алеx' = 1. Звідси:

dх =х,

тобто диференціал незалежної змінної дорівнює її приросту. Остаточно маємо:диференціал функції дорівнює добутку похідної функції на диференціал незалежної змінної:

dy = y'dx. (1.3)

Із рівності (1.2) випливає, що при малих xсправедлива наближена рівність

Δy  dy, (1.4)

або

f (x + Δx)  f (x) + f ' (x)dx. (1.5)

Ці рівності використовуються при наближених обчис­лен­нях і в теорії похибок; вони дозволяють обчислення при­росту функції звести до обчислення похідної, що є більш простою задачею.