1.5.3. Теорема множення ймовірностей

Суміщенням (перетином)подійАіВназивається така подія, при якій одночасно ре­алі­зується випадкова подіяAі випадкова подіяВ.

Н

Мал. 1.14.

агадаємо, що подіяАназивається незалежною від подіїВ, якщо ймовірність поя­ви подіїАне залежить від того, реалізувалась подіяВчи ні. У протилежному випадку подія називається залеж­ною.

Теорема множення ймовір­нос­­тей для незалежних подій: Ймовірність суміщення (перети­ну) двох незалеж­них подій дорів­нює добутку ймовірностей цих подій, тобто

P(A₁iA₂) =P(A₁ A₂) =P(A₁)P(A₂).

Графічний приклад суміщення двох незалежних подій подано на мал. 1.14(суміщення подій – заштрихована пло­ща).

Для залежних подій користу­ються поняттямумовної ймовір­ностіP_A(B)– ймовірності реалізації подіїBза умови, що подіяA відбулася.Теорема множення ймо­ві­рностей для залежних подій: ймовірність суміщення (перетину) двох залежних подій дорівнює добутку умовної ймовір­ності P_А(B) на ймовірність реалізації події A – P(A). Мате­ма­тичний запис теореми множення ймовірнос­тей для двох залежних подій:

P(A i В) = P(A) P_А(B).

Зауважимо, що у випадку незалежних подій АіВ

P_А(B) = Р(В).

Припустимо, що у результаті випробування може з’яви­тисьnнезалежних у сукупності подій, ймовірності кожної з яких відомі. Як знайти ймовірність того, що наступить хоча б одна з цих подій? Відповідь на це запитання дає теорема .

Теорема. Ймовірності появи хоча б однієї із незалеж­них в сукупності подій A₁, A₂, ..., A_n, які утворюють повну групу, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовір­ностей протилежних подій, , …, :

q₁ q₂ …q_n.

Якщо події A₁, A₂, ..., A_n мають однакову ймовірність, то остання формула набуває вигляду:

Р(А) = 1 – qⁿ. (1.26)

Приклад. У відділенні 3 операційні бокси. Для кожного із них імовірність бути зайнятим у даний момент часур = 0.3. Яка ймовірність, що хоча б один бокс вільний в даний момент?

Згідно з (1.26) шукана ймовірність

Р= 1 – (0.3)³= 1 – 0.081 = 0.918.

1.5.4. Формула повної ймовірності.Формули Байєса

Якщо подія Аможе реалізуватись тільки при виконанні однієї з подійВ₁, В₂, ...,В_n, які утворюють повну групу несумісних подій, то ймовірність подіїАобчислюється за формулою:

Р(А) =…+.

Ця формула має назву формули повної ймовірності.

Розглянемо її застосування на прикладі. До діагностич­ного центру в рівних кількостях потрапляють пацієнти з трьох консультативних пунктів. Імовірність, що діагноз буде підтверджено для пацієнтів з направленням першого пункту становить 90%, другого – 87%, третього – 75%. Яка ймовір­ність, що діагноз підтвердиться у взятого навмання паці­єнта?

Оскільки пацієнт вибирався довільним чином, то ймовірності, що він направлений одним певним консульта­тивним пунктом із трьох можливих однакові і дорівнюють 1/3. Згідно з теоремою повної ймовірності

P(А) = .

Отже, ймовірність події А(підтвердження діагнозу у взятого навмання пацієнта) становить 84 відсотки.

Припустимо, що в рамках міркувань формули повної ймовірності проведено випробування, у результаті якого реалі­зу­ва­лась подіяА. Як зміниться у зв’язку з цим ймовір­ність гіпотез (величин)? Відповідь на це запитання даютьформули Байєса:

.

Формули Байєса дозволяють переоцінити ймовірності гіпотез після того, як результат випробування став відомим.