1.1.7. Випуклість та увігнутість графіка функції.Точки перегину

Говорять, що графік диференційованої функції y = f (x)випук­лий на інтервалі(a, b)(увігнутий на інтервалі(a₁, b₁)), якщо при будь-яких значенняхxз цього інтервалу дуга кривої розміщена нижче (вище) дотичної, проведеної в будь-якій точці інтервалу (мал. 1.2а – випуклий,1.2б – увігнутий).

Д

остатньою умовоютого, що графік визначеної і двічі диференційованої функціїнапрямлений випуклістю вгору, є виконан­ня на відповідному інтервалі нерівності:

. (1.10)

Якщо ж

, (1.11)

то функція направлена випуклістю вниз (увігнута).

Т

очкаx₀, в якій змінюється напрямок увігнутості і при цьому існує дотична до графіка у цій точці, називається точкою перегину. Так, на мал. 1.3а точкаМ(x₀, y₀)єточкою перегину, а на мал. 1.3б не є точкою перегину. У точках перегину друга похідна або не існує або дорівнює нулю:

.

Це і є необхідна умова перегину. Достатньою умовою того, що деяка точка є точкою перегину, є зміна знака другої похідної при переході через таку точку. Точки, в яких друга похідна дорівнює нулю, також належать до критичних. Досліджуючи функцію, потрібно дослідити її поведінку в околах всіх критичних точок.

1.1.8. Побудова графіків функцій

Повне дослідження функціїпроводять за схемою:

1. Знаходять областівизначення функції, точки розриву, множину значень функції.

2. Знаходять асимптоти графіка.

3. Досліджують функцію на парність, непарність, періо­дич­­ність.

4. Досліджують функцію на монотонність і знаходять її екстремуми.

5. Визначають напрямок випуклості графіка, точки пе­ре­гину.

6. Знаходять точки перетину з осями координат.

7. Будують графік.

Приклад 1.Побудуємо графік функції. Ця функція визначена, неперервна і додатня на всій числовій осі, крім того вона парна:y(–x) = y(x). При0, а це означає, що пряма є горизонтальною асимптотою.

Похідна дорівнює нулю лише приx₀ = 0. Причому, приx > 0 похідна y' < 0, а значить, функція спадає, а приx < 0 похідна додатня (y' > 0)і досліджувана функція зростає. Отже, точка (0; 1) є точкою максимуму. Друга похіднадорівнює нулю приі. Результати зручно подати у вигляді таблиці:

X
f '' (x)	+	0	–	0	+
f (x)	Випукліс­тю вниз	е–1/2 – точка перегину	Випуклістю вгору	е–1/2 – точка перегину	Випукліс­тю вниз

Графік цієї функції подано на мал. 1.4а. Це так званакрива Гаусса.

Побудуємо графік функції . Ця функція непар­на. Вона визначена і неперервна на всій числовій осі. Вісь абсцис є горизон­тальною асимптотою:y  0як при, так і при. Враховуючи, щоz' = y''(x) і, проаналізувавши результати таблиці, бачимо, щоz(x)має мінімум приі максимум при. Ординати цих точок відповідно дорівнюютьі. Для виявлення точок перегину знай­демо y'''(x) = . Ця функція перетворюється в нуль при і . При похідна ,і функція спрямована випуклістю вгору, а при z''(x) > 0– випуклістю вниз. Прифункція опукла вниз, а при– вгору. Точка(0; 0)є точкою перегину. Графік функціїпредстав­ле­ний на малюнку1.4б.

У медицині широко використовуються методики, які базуються на дослідженні залежностей y(x) таy'(x), деy– деякий фізіологічний параметр,значення якого визначаєть­ся змінною величиною x.

Приклад 2.Якщо на речовину діяти одночасно постійним магнітним полем, індукція якогоВ,і змінним електромагнітним полем, то можна спостерігати явище магнітного резонансу. При цьому має місце селективне поглинання речовиною енергії електромагнітних хвильW_емпевної частоти. Якщо речовина містить парамагнітні частинки (часто їх вводять спеціально), то магнітний резонанс в ній називають електронним парамагнітним резонансом (ЕПР). ЕПР широко вико­ри­сто­вується у медико-біологічних дослідженнях з діагностич­ною метою, з санітарно- гігієнічною метою, у генній інженерії.

Залежність поглинутої речовиною енергії електромаг­ніт­­ного поля від індукції магнітного поля має вигляд, поданий на мал. 1.5а. Більш інформативним є дослідження не функціїW(B), а її похідної (мал. 1.5б)dW/dBі сучасні ЕПР-спектрометри реєструють саме цю криву.

Порівняння наведених графіків дозволяє побачити ті характерні особливості, котрі мають місце при зіставленні графіків функції та її похідної.

Приклад 3.Реографія – ще одна діагностична методика, що має широке використання. В її основі лежить лінійна залежність між змінами об’єму ділянки біологічної тканиниΔVта змінами її електричного опору:ΔV  ΔR. Сучасні реографи дозволяють отриму­ва­ти як об’ємну реограму, так і диференціальну.

На мал. 1.6 представлені графіки реонефрограми: а) об’ємної і б) диференціальної, деQ і –об’ємна швидкість крові та її похідна по часу t.

Як видно із цих графіків, точкам екстремуму на об’ємній реонефрограмі відповідають точки перетину з віссю часу на дифе­рен­ціальній реонефрограмі, аналогічно точкам перегину відпо­ві­да­ють точки екстремуму на диференціальній реонефрограмі.