1.1.4. Правило диференціювання складної функції

Якщо y = f (u), аu = (x), тобтоy = f [ (x)]– складна функція і функ­ціїy(u) таu(x)– диференційовані, то складна функціятакож диференційована, причому

, (1.7)

або, в інших позначеннях

.

Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого числа диференційованих функцій. Наприклад, якщоy = sin² (x³), то

y' = 2sinx³(sinx³)' = 2sinx³cosx³(x³)' = 3x²2sinx³cosx³ = 3x²sin2x³.

1.1.5. Похідні вищого порядку

Похідна сама може бути неперервною функ­ці­єю, в такому випадку можна ввести поняття похідної другого порядку.Похідною другого порядкучи другою похідною функції називається похідна від її першої похід­ної:

y'' = f '' (x) = =(f ' (x))'.

Визначення (математичне) другої похідної в точці x = x₀

.

Наприклад, прискорення згідно з означенням є другою похідною по переміщенню за часом a = s''(t). Якщо друга похідна неперервна, тобто функціяf '' (x)диференційована, то можна визначити третю по­хід­нуf ''' (x).

Похідну n-порядку позначаютьy⁽ⁿ⁾(x)або. Її отри­му­ють в результаті диференціюванняnразів функціїy = f(x). При обчисленні похідних вищих порядків використову­ють­ся ті ж правила, що і при обчисленні похідної першого порядку.

1.1.6. Дослідження функцій на монотонність.Максимуми та мінімуми функцій

Розглянемо функцію y = f (x),неперервну і диферен­ційо­вану в деякому інтерваліa  x  b. Якщо при цьому, на деякому проміжку з вказаного інтервалу, виконується нерівність:

> 0, (1.8)

то на цьому проміжку функція зростає, тобто для будь-яких зна­ченьx₁ix₂з цього проміжку справедливо:f (x₂) > f(x₁), якщоx₂ > x₁.

Якщо ж

< 0 (1.9)

на деякому проміжку, то на цьому проміжку функція спадає, тобто з нерівностіx₂  x₁ слідуєf (x₁) > f (x₂). Якщо ж нерівності (1.8) та (1.9) виконуються нестрого, то говорять, що функціянеспадаюча за умови:

і незростаюча, якщо

.

Монотонні функції.Функції, в яких перша похідна на деякому проміжку не змінює знак, називаютьсямонотон­ними на цьому проміжку. Монотонні функції часто зустрічаються у різних дослід­жен­нях. Наприклад, освітле­ність – монотонно спадна функція відстані від джерела світла.

Максимуми та мінімуми функцій. Кажуть, що функ­ціямає у точціx₀максимум (мінімум), якщо існує такий окіл цієї точки(x₀ – , x₀ + ), що для всіхxіз цього околу виконується нерівністьf(x) < f (x₀) (f (x) > f (x₀)).

Інакше кажучи, функція має в точці максимум (міні­мум), якщо для достатньо малого приросту (будь-якого знака) виконується нерівність:f (x₀+Δx)  f (x₀) (f (x₀+Δx)  f(x₀)).

Максимум чи мінімум функції називається екстрему­мом функції.

Якщо досліджувана на екстремум функція диферен­ційо­вана, то вивчення поведінки її похідної дає можливість знаходити точки екстремуму, проміжки монотонності.

Необхідна умова існування екстремуму. Якщо дифе­рен­ційова­на в деякому інтервалі(a; b) функція має в точціx₀  (a; b)екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю:f (x₀) = 0. Точки, в яких похідна перетворюється в нуль, називаютьсякритичними.

Достатня умова існування екстремуму.Якщо похід­на функ­ціїперетворюється в нуль у точціx₀і при переході через цю точку в напрямку зростанняxзмінює знак “плюс” (“мінус”) на “мінус” (“плюс”), то в точціx₀ця функція має максимум (мінімум). Якщо ж похідна функції при переході через точкуx₀не змінює знака, то в цій точці функціяf (x)екстремуму не має.

Друга достатня умова існування екстремуму.При­пус­тимо, що функція має в точціx₀та її околі неперервні першу й другу похідні, причомуf ' (x₀) = 0,f '' (x₀)  0. Тоді функція має в точціx₀ мі­німум (максимум), якщоf '' (x₀) > 0 (f '' (x₀) < 0).