4. Елементи теорії Звичайних диференціальних рівнянь

1.4.1. Поняття про диференціальні рівняння

Диференціальним називається рівняння, в яке, крім функції y і незалежної змінної x, входять похідні функції y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾ (або диференціали dx i dy). Загальний вигляд диференціального рівняння у випадку функції однієї змін­ної:

F₁ (x, y, y', y'', …, y^(п)) = 0абоF₂ (x, y, dx, dy) = 0.

Найвищий порядок похідної, яка входить до диферен­ці­аль­ного рівняння, називаютьпорядкомдиференціального рів­нян­ня.

Диференціальне рівняння називається лінійним, якщо невідома функціяyта її похідні y', y'', ...входять у рівняння тільки в першому ступені. В іншому випадку – рівняннянелінійне.

Розв’язком звичайного диференціального рівняння n-го порядку називається кожна функціяy = f (x), підстановка якої, разом з її похідними, перетворює його в тотожність. Процедуру знаходження розв’язків диференціального рів­нян­ня називають інтегруванням цього рівняння.

У випадку функції однієї змінної (у = f (х))рівняння нази­ваютьзви­чайним диференціальним рівнянням. У випад­ку двох ()і більше змінних рівняння називаютьдиферен­ціаль­ним рівнянням в частинних похідних.

Найбільш поширені у фізиці такі диференціальні рів­нян­ня в частинних похідних:

1. Рівняння дифузії

,

де шукана функція – концентрація речови­ни є функцією часу і координати с = f (x, t), D– коефіцієнт дифузії.

2. Рівняння теплопровідності для температури T= f (x, t)

,

– коефіцієнт температуропровідності.

3. Рівняння вільних гармонічних коливань

,

де  –власна частота,s– зміщення тіла від положення рівноваги.

4. Хвильове рівняння:

,

де s = f (x,t) – зміщення точок середовища від положення рівноваги,υ– швидкість поширення хвилі.

Надалі будемо розглядати звичайні лінійні диферен­ціальні рівняння.

1.4.2. Лінійні диференціальні рівняння

Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку має ви­гляд:

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^{(n – 1)} +…+ a _n(x) y = b(x),

де y– шукана функція,a₁(x), a₂(x), …, a_n(x)– відомі функції незалеж­ної змінної, їх ще називаютькоефіцієнтамидифе­ренціального рівняння. Якщо коефіцієнти при невідомій функціїyта її похідних не залежать відx, тобто є констан­тами, то рівняння називається диференціальним рівнянням зпостійними коефіцієнтами. У протилежному випадку – диференціальне рівняння зізмінними коефіцієнтами.

Рівняння, в якому b(x)  0, називаєтьсянеоднорідним, якщо жb(x) = 0, то рівняння –однорідне.

У відповідність однорідному диференціальному рівнян­ню можна поставити алгебраїчне рівняння відносно змінної

,

яке називають характеристичнимдля даного диференці­аль­ного рівняння. Якщо– корінь характеристичного рівняння, то– розв’язок диференціального рівняння. Кожному дійсному кореню кратностіm відповідає набір лінійно незалежних розв’язків

, ,…, . (1.16)

Система функцій називається лінійно незалежною, як­що ні одна з них не може бути подана у вигляді лінійної комбінації останніх функцій.

Має місце теорема. Якщо y₁ = ₁(x), ₂(x), …, _k(x) – розв’язки однорідного рівняння, то будь-яка їх лінійна комбінація

C₁ y₁ + C₂ y₂ + … + C_k y_k

також є розв’язком цього однорідного рівняння, С₁, С₂, …, С_к – конс­тан­ти.

Сукупність лінійно незалежних розв’язків, кількість функ­цій в якій дорівнює порядку диференціального рів­няння, називаютьфундаментальним набором розв’язківліній­ного диференціального рівняння .

Загальний розв’язок диференціального рівняння– роз­в’я­зок, який є лінійною комбінацією фундаментального набору розв’язків:

,

де С₁, С₂, …, С_n – довільні константи,y_i– лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння .

Отже, загальний розв’язок диференціального рівняння n-го поряд­ку– це функціяy = f (x, C₁, C₂, …, C_n), яка пере­тво­рює це рів­няння в тотожність при будь-яких значеннях константC₁, C₂, …, C_n.

Розв’язок, який отримується із загального при деяких фіксова­них значеннях констант C₁, C₂, …, C_n, називаютьчастинним розв’язком.