1.2.2. Повний диференціал

Розглянемо u = f (х, y, z)– функцію трьох незалежних змінних, яка є визначеною і диференційованою у деякому інтервалі. Головна, лінійна відносноΔх, Δy, Δz, частина приросту функції називається повним диференціалом du функції трьох змінних:

. (1.12)

Інакше кажучи, повний диференціал функції дорівнює сумі її частинних диференціалів.

При вивченні поведінки функції у даній точці простору особли­вий інтерес у фізиці становить питання про напрямок максималь­ного зростання функції у даній точці. Вектор, модуль якого дорівнює найбільшій швидкості зростання функціїu = f (х, у, z) у даній точціР, а напрям збігається з напрямком максимального зростання, називаєтьсяградієн­том функції. Градієнт має своїм початком точкуР, а своїми проекціями – значення частинних похідних функціїu(х, у, z)в точціР

, (1.13)

де – одиничні вектори осейOX,OYіOZвідповідно.

Особливостями градієнта користуються для знаходжен­ня екстремумів функцій декількох змінних.

1.2.3. Застосування диференціала функції для обчислення похибок

Коротко нагадаємо, що вимірювання бувають прямі і непрямі (опосередковані). У прямих вимірюваннях визнача­єть­ся сама шукана величина: температура – термометром, маса – терезами, час – секундоміром тощо. У непрямих вимірюваннях шукана величина знаходиться шляхом розра­хун­ку за іншими вимірюваними величинами. Наприклад, густина– розраховується, масаmi об’ємV– вимі­рю­ються. Прискорення– розраховується за виміря­ними силоюFi масоюm.

Точність вимірювання характеризується похибкою. Абсолютна похибка – це різниця між вимірюванимx_iтаточним значенням x₀ величини

Δx_i = x_i – x₀ (i = 1, 2, ... n).

Відносна похибка– відношення абсолютної похибки до точ­но­го (істинного) значення вимірюваної величини:.

Розрізняють три типи похибок: а) випадкові, б) система­тич­ні, в) промахи.Випадкові похибки– це такі, які неперед­ба­чено змінюють свою величину та знак від досліду до досліду. Систематичні похибки – ті, які залишаються по­стій­ними або закономірно змінюються при повторному вимірюванні, зберігаючи свій знак, а, інколи, і величину. Причини: неточність мір та приладів, неправильне встанов­лення та градуювання приладів, недосконалість методів вимірювання.Промахи– грубі похибки, які значно переви­щу­ють очікувані за даних умов. Причини: халатність підра­хунку, неправильне увімкнення приладів тощо.

Обмежимось розглядом випадкових похибок. Оскільки точне значення x₀невідоме (якщо воно відоме, то нічого вимірю­вати), то заx₀приймають найчастіше середнє ариф­ме­тичне значенняx:

.

Середня абсолютна похибка

дорівнює середньому арифметичному значенню абсолют­них похибок окремих вимірювань.

У деяких випадках використовують середньо­квадра­тич­ну абсолютну похибкута– дисперсію випадкових величин або математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

.

Для знаходження похибок використовують метод замі­ни приросту функції її диференціалом.

Приклад.Припустимо, що величинаu, яка обчислюєть­ся, є добутком двох вимірюваних величинxтаy:. У такому випадку повний диференціал.

Скориставшись наближеною рівністю , матиме­мо: .

Розділивши ліву і праву частини на u = x y, матимемо:

, або.

Таким чином, для функції, яка являє собою добуток двох або більше вимірюваних величин, максимальна віднос­на похибка дорівнює сумі максимальних відносних похи­бок. На практиці часто при обчисленні похибок користу­ють­ся готовими формулами. Деякі з них наведені в таблиці.