Глава 3. Суждение

ликация — «влечет», «если... то...», «так как»; эк-виваленция — «если и только если», «тогда и толь­ко тогда», «необходимое и достаточное условие». Следует помнить, что указанные выражения есте­ственного языка являются лишь аналогами для ло­гических связок и не отображают их точное логи­ческое значение. Это понятно, так как они сами в естественном языке используются многозначно. Указание аналогов все же помогает понять интуи­тивный смысл логических операторов и связок, ис­пользуемых в языке логики высказываний.

Понятие формулы языка логики высказывания определяется следующим образом.

1. Все простые высказывания являются форму­лами.

2. Если А — формула, то А — формула.

3. Если А —формула и В —формула, то (А^л В), (Av В), (AVB), (А->В), (А<-»В) — также формулы.

4. Формулами логики высказываний являются те и только те, которые построены в соответствии с пун­ктами 1-3.

Строгое определение понятия формулы языка позволяет ответить на вопрос, что является правиль­но построенным выражением в языке логики выс­казываний, а что им не является. Например, следу­ющие выражения являются правильно построен­ными формулами: ((АлВ)уС), ((-А->В)л(-пВ<->С)), (-п(-1Ал-,В)лС).

Следующие выражения не являются формулами языка логики высказываний:

(А-,В)^ (л A v -.В^ (-»(-пА л B)c)l

В примерах правильно построенных формул для упрощения записи можно снять общие скобки, так как это не изменяет логическую структуру формулы.

71

_______________Логика________________

Таким образом, каждому сложному высказыва­нию в естественном языке соответствует определен­ная логическая структура, выраженная формулой языка логики высказываний. Так, высказывание «Если я сдам экзамен по логике, то мир перевернется, или если мир перевернется, то я сдам экзамен по ло­гике» имеет следующую структурную формулу: (А -> b)v (в -» а); высказывание, которое мы отнесем к типу утверждений «женской логики», «Он обяза­тельно полюбит меня, но навряд ли это произойдет, если он узнает о всех моих похождениях» можно выразить следующей формулой: aa-i(b~»a); ло­гическая структура высказывания «Я сдам экзамен по логике, если и только если не буду пропускать занятия и научусь решать задачи» имеет следующую форму: А <-> (-iB л С).

Анализ логической структуры выражений языка является необходимым предварительным этапом логического исследования.

Упражнения

3.1. Определите, какие из приведенных выра­жений представляют собой правильно по­строенные формулы языка логики выска­зываний.

(А -> В -> С); (В -> (С v d)); А -> (в -> (с -> d));

-пА v -(В л С); (((А -> В) -» C)D v e);

-i(-i(-r-i(-iA v -,В) -> -{-НС л D))); -.(А);

((((А л -пВЬ)С л -i)C <-> d); (A v (В v (-JB v (С v -iD)))).

72

Глава 3. Суждение

3.2. Из следующих символов языка логики выс­казываний составьте правильно построенные формулы.

А, В, С, D, л , л , v , (, (, ), ); А, А, В, -i, -i, -», <н>, (,);

а, в, с, -i, -i, -i, v» ->» О С )>); а, в, с, -,, _Л, v, (,);

А, А, А, В, В, -i, -i, -i, -i, V, v, -», 4-М, (, (,),),).

3.3. Пусть переменная А означает высказывание «Я сдам экзамен по логике», В — «Декан доволен мной», С — «Мама накормит меня прекрасным ужином», D — «На меня обра­тят внимание девушки», Е — «Любимая фут­больная команда выиграла матч». Переведи­те на естественный язык следующие форму­лы языка логики высказываний.

А -> (В л -i(-,C л -.D)); (В <-» а) л ((-,Е v -iC) -» (-.А л -Л)));

с -> (в -> (е -+ (а л в)))_;

(в <-» (av-id)) л ((-.d v -^е) -^ (-а л -пс)).

3.4. Следующие логические структуры перевес-дите на естественный язык, подобрав подхо­дящие по смыслу высказывания для встре­чающихся в формулах переменных.

А -> ^(-пВ v -тС); А л (ЧВ -> (С ^ d)); (-пА л -,В) <-> (-,С -> -iD); -,(А -> (-,В v -.С)); А -» (В -» (С -> d)); -i(-,A -> -.(В v

3.5. Самостоятельно придумайте задачу, аналогич­ную упражнению 3.3.

73

_______________Логика________________

3.2. Логические условия истинности высказываний

Классическая логика опирается на принцип дву­значности: относительно любого высказывания мож­но утверждать, что либо оно истинно, либо оно ложно; третьего не дано. Высказывание считается истинным, если содержащаяся в нем информация соответствует действительному состоянию дел в наблюдаемой ре­альности; в противном случае оно ложно.

Классическое предположение двузначной истин­ностной оценки высказывания является очень силь­ной идеализацией, которая встречает опроверже­ния в логической практике. Спросим, в каком смыс­ле высказывание «Если 2 + 2 = 4, то Москва — столица России» может быть истинным или лож­ным? Оно скорее является бессмысленным. Другой пример — знаменитая теорема Ферма, которая фор­мулируется утверждением: «Не существует корней для уравнения х" + yⁿ= zⁿ, при п>2>>. Для степени 2 такие корни найти легко: З² + 4² = 5². Однако оказалось неразрешимой задачей математики — доказать утверждение теоремы Ферма и опроверг­нуть его, подобрав подходящие степени и корни. Поэтому данное высказывание нельзя считать ни истинным, ни ложным; оно имеет неопределенное истинностное значение. Наконец, в первом разде­ле уже разбиралась проблема истинностной оцен­ки высказывания «Я лгу», лежащего в основе «Па­радокса лжеца». Очевидно, подобные высказыва­ния, которые, конечно, не являются бессмысленными, вообще не имеют истинностной интерпретации. Ло­гические теории, в которых не выполняется прин-

74