- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.
- •2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
- •4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •14. Теорема об определителе произведения матриц.
- •15. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.
- •20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •21. Решение совместной системы линейных уравнений.
- •22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.
- •25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
- •35. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
- •42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •47.Определение линейного пространства. Примеры.
- •49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.
- •50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.
21. Решение совместной системы линейных уравнений.
А)Формула Крамера. а) Пусть m=n и |A|≠ 0, значит , т.е. система совместна и определенна.
(1) ← алгебраические дополнения элем.k-того столбца. Предположим что х1…хn не неизвестные а их значения. Т.е. все эти равенства верные. Сложим все строки системы:
Ak получается из матрица A заменой k-того столбца столбцом свободных членов, чужим столбцом. Отсюда получаем: - формулы Крамера.
В) Пусть имеется СЛУ с n неизвестными, причем . Для определенности будем считать что базисный минор матрицы А расположен в левом верхнем углу матрицы А. Этот же минор будет базисным и для расширенной матрицы системы. Каждая строка расширенной матрицы системы не пересекающая базисный минор является линейной комбинацией строк, пересекающих базисный минор поэтому система СЛУ (1) эквивалентна системе:
. Если то неизвестныеxr+1…xn называются свободными и слагаемые содержащие свободные неизвестные перенесем в правые части уравнений. Тогда система (2) примет вид: .
Неизвестные x1…xr - главные (базисные) неизвестные. Придавая свободным неизвестным различные значения из системы (3) мы будем каждый раз получать системуr уравнений с r неизвестными имеющие единственные решения . Т.к. определитель этой системы (3) есть базисный минор М≠0 объединяя (4) и (5) мы получаем общее решение системы (1):. Придавая величинамвсевозможные значения из поля Р мы получаем все решения системы (1), каждое из которых называется частным в отличие от общего.
СЛУ можно решать матричным методом: АХ=В. Можно методом Гаусса: его суть в последовательном исключение неизвестных. Или методом Гаусса-Жордано: Представляет собой модификацию метода Гаусса, вмнсто того чтобы исключить xk только в уравнениях k+1…n исключают xk также и в уравнениях 1…k-1. При решении системы методом Гаусса-Жордано выбирают разрешающее уравнение и разрешающее неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы. А в качестве разрешающей неизвестной, неизвестное, коэффициенты при котором в выбранном уравнении отличны от 0. Далее делим обе части разрешающего уравнения на коэффициенты при разрешающем неизвестном и исключаем разрешающее неизвестное из всех уравнений системы кроме разрешающего. Преобразования производим до тех пор пока каждое уравнение системы не побывает в качестве разрешающего.
22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
Определение: СЛУ над полем Р называется однородной если все ее свободные члены равны 0, в противном случае она называется неоднородной.
Теорема: ОСЛУ всегда совместна т.к. имеет по крайней мере нулевое решение. Для того чтобы Ослу имела не нулевое решение необходимо чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных. В частности ОСЛУ с m уравнениями и n неизвестными имеет отличные от 0 решения тогда и только тогда когда .
Утверждение этой теоремы является следствием критерия определенности.
Пусть - какое-нибудь отличное от нуля решение ОСЛУ, это решение можно рассматривать как строкуизn чисел. Если С – произвольное число то ясно что строка тоже решение ОСЛУ. Всякая линейная комбинация решений ОСЛУ является решением этой системы.
Определение: Линейно-независимая система решений ОСЛУ называется фундаментальной если каждое решение ОСЛУ является комбинацией этих решений.( Совокупностьmax числа линейно-независимых решений называется фундаментальной системой решений).
Теорема: Если то ОСЛУ обладает ФСР.
Доказательство: Пусть и пусть для определенности минорMr≠0 расположен в левом верхнем углу матрицы А. Перенесем слагаемые содержащие свободные неизвестные xr+1…xn в правую часть уравнения получим систему: .
Придавая свободным неизвестным значения мы из системы (2) получим. Это дает нам строку-решение. Затем придавая свободным неизвестным значения (0,1,0…0) получим. Это дает нам строку-решениеи т.д. Продолжая этот процесс мы найдем всегоk=n-r решений: . Этиn-r решений независимы т.к. ранг образованной ими матрицы имеет ранг n-r решений.
Покажем теперь что решения е1,е2… еn-r образуют ФСР. Согласно определению ФСР для этого надо показать что каждое решение ОСЛУ можно представить в виде линейной комбинации решений е1,е2…еn-r.
Пусть - произвольное решение ОСЛУ. Рассмотрим строку. Легко видеть что все элементы стоящие на последнихn-r местах этой строки е0 будут равны 0, т.е. . Т.к. е0 линейная комбинация решений то строка е0 сама будет решением ОСЛУ. А т.к. значение всех свободных неизвестных в строке е0=0 то из однородности в этом случае системы (2) определитель которой отличен от 0, получаем что и значение всех неизвестных в е0=0, т.е. е0 есть 0 строка. Отсюда следует что (ч.т.д.)
Таким образом можно сказать что общее решение ОСЛУ имеет вид где е1,е2…еn-r - ФСР, а С1,С2…Cn-r – произвольные числа.
Важно отметить: Общее решение неоднородной СЛУ равно сумме общего решения соответствующей ОСЛУ и произвольного но фиксированного решения СЛУ. Отсюда следует что если е1,е2…еn-r - ФСР (ОСЛУ) и е0 - произвольное фиксированное решение СЛУ то общее решение СЛУ имеет вид , где С1,С2…Cn-r – произвольные числа.
Сформулированное утверждение следует из следующих очевидных утверждений : 1) Сумма любого решения неоднородной СЛУ и соответствующей ей ОСЛУ является решением неоднородной СЛУ.
2) Разность двух произвольных решений неоднородной системы двух уравнений является решением соответствующей ОСЛУ.
Матричная форма доказательств этих утверждений самая короткая.