- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.
- •2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
- •4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •14. Теорема об определителе произведения матриц.
- •15. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.
- •20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •21. Решение совместной системы линейных уравнений.
- •22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.
- •25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
- •35. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
- •42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •47.Определение линейного пространства. Примеры.
- •49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.
- •50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.
39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
Ясно что точка М будет принадлежать плоскости тогда и только тогда когда или. Уравнение (3) имеет место и для ОДСК. Уравнение (3) называется векторным уравнением плоскости.
Если инаправляющие вектора плоскости, тогда в качестве нормального вектора плоскости можно взять, тогда (3) перепишем в виде. Уравнение (3’) в координатyой форме только для ДПСК имеет вид А(х-х0)+ В(у-у0)+ С(z-z0)=0 (3’’).
Уравнение (3’’) является уравнением плоскости проходящей через точку М0 (х0 у0 z0) заданному вектору (А,В,С)
Векторные уравнения прямой линии в пространстве. Точка М принадлежит прямой тогда и только тогда когда , т.е.
Посмотрим теперь как связаны между собой два общих уравнения определяющих одну и ту же прямую линию или плоскость в ДПСК. Пусть для определенности даны два уравнения плоскости П: (4). Векторы- являются нормальными векторами в одной и той же плоскости. Значит
. Умножим обе части (4) второго уравнения наt и вычтем из первого. Получим . Следовательно коэффициенты общих уравнений определяющих одну и туже прямую или плоскость пропорциональны.
Признаки параллельности плоскости и прямой на плоскости. Плоскости и прямые на плоскости задаваемые своими общими уравнениями параллельны тогда и только тогда когда соответствующие коэффициенты при переменных пропорциональны. Если пропорциональны все коэффициенты то плоскости и прямые совпадают.
40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
Система двух уравнений первой степени , в которых коэффициентыx,y,z не пропорциональны определяют некоторую прямую EF в пространстве как линию пересечения двух плоскостей. Уравнения (8) называются общими уравнениями прямой в пространстве. Любое решение системы (8) x0,y0,z0 дает нам координаты начальной точки М(x0,y0,z0). Направляющий вектор прямой
Приведем уравнение прямой к каноническому виду . Учитывая написанное выше получим.
41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
Уравнение прямой проходящей через две точки.
Уравнение прямой проходящей через три точки.
Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости тогда и только тогда когда - компланарны, т.е..
- искомое уравнение плоскости
Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая задана своими общими уравнениями то в качестве направляющего вектора можно взять.тогда (9) примет вид
или . Отсюда следует что три плоскости пересекаются в одной точки тогда и только тогда когдаТ.к. это неравенство означает что прямая линия по которой пересекаются какие-нибудь две из плоскостей не параллельна третьей.
Уравнения в отрезках. Уравнения вида называется уравнением плоскости в отрезках.- уравнение прямой на плоскости в отрезках. Геометрический смысл чиселa,b,c: a,b,c – это величины отрезков отсекаемых плоскостью от осей координат Ox,Oy,Oz соответственно.(точка О – начало отрезков).
Полупространство, полуплоскость.
Определение: Множество точек М пространства удовлетворяющих условию
называется полупространством определяемым плоскостью П и ее нормальным вектором .
Это определение равносильно- уравнение полупространства.- нормальный вектор плоскости..- уравнение другого полупространства т.к. плоскость разбивает пространство на два полупространства. Неравенство (1) в координатной форме:. Уравнение другого полупространства:. Аналогично определяется что такое плоскость и полуплоскость. И доказывается что- одна полуплоскость, а- другая полуплоскость. Пусть даны две точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2). Если иимеют одинаковые(разные) знаки то точки М1 и М2 находятся по одну(по разные) стороны от плоскости .
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки М до плоскости есть высота параллелепипеда (см. рисунок). . Ясно что направляющие векторы можно выбрать так чтобы. Тогда. В координатной форме. Уравнениеназывается нормированным уравнением плоскости. Расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат её точки в левую часть нормированного уравнения плоскости.
Уравнение видагде + еслиD<0 и – если D>0 называется нормальным уравнением плоскости.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М до прямой равно высоте параллелограмма. илигде М(x0,y0) – некоторая точка прямой, а х,у координаты вектора .
Учитывая что формулу (3) перепишем в виде. Из (3) следует чтогденормальный вектор прямой. Уравнение виданазывается нормированным уравнением прямой на плоскости. Таким образом расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки её координат в левую часть её нормированного уравнения прямой.
Нормальное уравнение прямой на плоскости где + еслиC<0 и – если C>0.
Таким образом нормальное уравнение прямой если сумма квадратов коэффициентов при x,y,z равна 1 и свободный член отрицательный.
Расстояние между непараллельными прямыми.Пусть p непараллельна q. В этом случае существуют две такие параллельные плоскости P и Q что прямая p лежит в P а прямая q лежит в Q. Если уравнения прямых ито плоскость Р имеет начальную точку с радиус вектороми направляющими векторамии. А плоскостьQ начальную точку с радиус вектором и теми же самыми направляющими векторами, так как Р параллельнаQ.
Теорема: Прямые с уравнениями ипересекаются тогда и только тогда когдаh=0.
Вычисления углов: а) Угол между двумя прямыми это угол между направляющими векторами этих прямых.
б) Угол между прямой и плоскостью есть по определению угол ψ между прямой d и ее проекцией на плоскости. Получаем два угла ψ и π- ψ(тупой и острый). Каждый из этих углов заключен между 0 и π. В зависимости от выбора направляющего вектора прямой d и нормального вектора плоскости П имеем 4 угла попарно вертикальных. Обозначим через φ угол между любым вектором направляющим и любым нормальным вектором плоскости. Т.к. угол ψ заключен между 0 и π то егоsin≥0, Причем
в) За угол между плоскостями принимают угол между любыми нормальными векторами к этим плоскостям. Это опять два угла – острый и тупой, дополняющие друг друга до π.