- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.
- •2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
- •4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •14. Теорема об определителе произведения матриц.
- •15. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.
- •20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •21. Решение совместной системы линейных уравнений.
- •22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.
- •25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
- •35. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
- •42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •47.Определение линейного пространства. Примеры.
- •49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.
- •50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.
30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается или.(1)
Если хотя бы один из векторов – нулевой вектор то скалярное произведение равно 0.
Через m и n обозначим оси определяемые единичными векторами и.
Вместо (1) мы можем написать
Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Например если -сила, точка приложения которой перемещается из начала векторав конец, то работа при этом совершаемая равна.
Свойства скалярного произведения:
1) (2) – коммутативность.
2) (3)
(3’)
Доказательство: (3) – доказано.
3)Дистрибутивность
Доказательство :
Из первых трех свойств вытекает, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно производить почленно. Отметим некоторые геометрические свойства скалярного произведения:
4)Для того, чтобы , необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из векторов равнялся 0 или.
5)
Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:
Пусть в пространстве задана ДПСК. Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов.
Пусть
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:
Если и векторсоставляет с осями координат углытогда.называются направляющимивектора.
Если то
.
Пусть задана координата двух точек итогда
.
31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
Определение: Векторным произведением векторов иназывается вектор обозначаемыйкоторый удовлетворяет трем следующим условиям: 1.
2. Вектор перпендикулярен векторами.
3. Тройка векторов ,,является правой.
Рассмотрим основные свойства векторного произведения: 1) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости( коллинеарности) векторови.
2) Если не параллелентоплощади параллелограмма построенного на векторахи, точка О – произвольная. Это утверждение следует из условия 1 векторного произведения векторов и известной теоремы из школьной геометрии: площадь треугольника
3)
Доказательство:
4)
Доказательство: Докажем равенство (а). При α=0 или параллельномутверждение очевидно. Пусть α≠0 ине параллельно.
Правая часть:
Левая часть: 1. α >0
2. α <0
Векторы в обеих частях коллинеарны так как и тот и другой перпендикулярны векторам и, осталось доказать что эти векторы соноправленны. Если α >0 то эти векторы направлены также как и. Если α <0, то каждый из этих векторов направлен противоположно вектору(ч.т.д.)
Равенство (б) следует из (а) и свойства (3):
5) Дистрибутивность:
Доказательство:Докажем равенство (а’). Пусть единичный вектор(орт).. Сначала докажем равенство.
От точки О отложим векторы и. Через точку О проведем плоскость перпендикулярную. Повернемпо часовой стрелке на 90 градусов если смотреть с конца вектора..- правая тройка.. Значит. Докажем равенство(*). Повернем треугольникOA’B’ на угол 90 градусовесли смотреть с конца вектора.
(*) доказана. Теперь обе части равенства (*) умножим на :(ч.т.д.)
Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Если задано разложение векторов ипо векторам базисато мы можем записать на основании свойств 4 и 5:
В ортонормированном базисе :. (+ если тройка векторов правая, - если левая)
Для определенности будем считать что базис всегда правый. Таким образом получим следующее утверждение: В ортонормированном базисе векторное произведение векторов выражается через координаты сомножителей следующей формулой:.
Чтобы запомнить эту формулу достаточно заметить что если разложить определитель по элементам первой строки, то мы получим правую часть(**).
Таким образом произведение не
Замечание: Векторное обладает свойством ассоциативности. Например: