- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.
- •2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
- •4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •14. Теорема об определителе произведения матриц.
- •15. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.
- •20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •21. Решение совместной системы линейных уравнений.
- •22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.
- •25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
- •35. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
- •42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •47.Определение линейного пространства. Примеры.
- •49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.
- •50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.
35. Общие уравнения плоскости и прямой.
Уравнения первой степени или линейные уравнения связывающие координаты точки в пространстве имеют вид . Аналогично на плоскости.
Теорема1: В общей ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением (1). Обратно каждое линейное уравнение (1) в ОДСК определяет плоскость.
Теорема2: В ОДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана уравнением(2). Обратно каждое линейное уравнение (2) в ОДСК на плоскости определяет прямую линию.
Доказательство: Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем теорему 1. Пусть задана некоторая плоскость. Систему координат выберем так: точка О и два базисных вектора поместим в плоскость, а векторвыполним произвольно. В такой СК наша плоскость будет иметь линейное уравнениеZ=0. В силу теоремы об инвариантности наша плоскость будет иметь линейное уравнение и в любой другой ДСК.
Обратно пусть мы имеем ОДСК и линейное уравнение(1). Докажем что это линейное уравнение определяет плоскость. Перейдем к другой ДСК. Для определенности пусть С≠0. Сделаем замену переменных: . Покажем что эта система равенств определяет переход к новой системе координат( выражает связь между старыми и новыми координатами точки)..
Переход к новой СК:
Новое начало СК в старой системе. Уравнение плоскости будет иметь уравнение(т.е. уравнение (1) переходит в новой СК в уравнение)Z’=0. Значит и уравнение(1) определяет плоскость. (ч.т.д.)
Уравнение (1) и (2) называются общими уравнениями плоскости и прямой на плоскости соответственно.
36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
А)Параметрические уравнения прямой.Прямая линия на плоскости или в пространстве полностью определяется точкой, лежащей на этой прямой( начальная точка) и вектором, параллельным этой прямой(направляющим вектором). Аналогично плоскость полностью определяется точкой принадлежащей плоскости и двумя неколлинеарными векторами в этой плоскости(начальная точка и направляющие вектора в плоскости). Рассмотрим точку М радиус вектор которой . Ясно что точка М будет принадлежать прямой тогда и только тогда когда, гдеt - некоторое определенное вещественное число. Другими словами для любой точки М принадлежащей прямой существует t, такое что имеет место (4) и наоборот, какое бы число t мы не подставили в (4) вместо t, вектор определяемый (4) будет радиус-вектором некоторой точки на прямой.
В формуле (4) переменная величина t пробегающая все вещественные значения называется параметром. А уравнение (4) векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой выглядит одинаково и для прямой на плоскости и в пространстве. Но при разложении по базису оно сводится в одном случае к двум а в другом к трем скалярным уравнениям. В пространстве: - параметрические уравнения прямой в пространстве.
- параметрические уравнения прямой на плоскости.
Б) Пусть точка М произвольная точка в пространстве. Начало вектора лежит в плоскости следовательно его конец – точка М лежит на плоскости тогда и только тогда когда этот вектор лежит в рассматриваемой плоскости. Поэтому точка М лежит в плоскости тогда и только тогда когда найдутсяt1 и t2, такие что . Другими словами точка М с радиус векторомпринадлежит плоскости тогда и только тогда когда существуютt1 и t2, такие что выполняется (7). И наоборот, какие бы числа мы не подставили в (7) вместо t1 и t2 вектор определенный уравнением (7) будет радиус-вектором точки лежащей в плоскости. Переменныеt1 и t2 пробегающие все вещественные значения называются параметрами. А уравнение (7) называется векторно-параметрическим уравнением плоскости. Уравнение (7) эквивалентно трем скалярным уравнениям - параметрические уравнения плоскости.