- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.
- •2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
- •4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •14. Теорема об определителе произведения матриц.
- •15. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.
- •20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •21. Решение совместной системы линейных уравнений.
- •22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.
- •25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
- •35. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
- •42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •47.Определение линейного пространства. Примеры.
- •49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.
- •50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.
28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
Фиксируем в пространстве любую точку О - начало системы координат. Пусть- базис в пространстве, отложим векторыот точки О. Три плоскости определяемые попарно координатными осями называются координатными плоскостями. Будем говорить, что мы построили систему координат. Пусть- произвольный вектор, его можно единственным образом представить в виде. Коэффициентыx,y,z в называются координатами вектора в пространстве. Они независят от выбора начала координат.- проекции векторана координатные осиOx, Oy,Oz, а числа x,y,z – являются величинами этих проекций соответственно, если - масштабные векторы соответствующих координатных осей. Если система координат задана то для указания вектора употребляют запись(x,y,z). Пусть М – произвольная точка пространства. - радиус вектор этой точки. Декартовыми координатами точки М называются координаты (x,y,z) ее радиус вектора(смотри рисунок). Координаты точки зависят от начала выбора системы координат.
Простейшая Декартова система координат – прямоугольная. В случае ПДСК векторы - попарно ортогональны и длина каждого из них, измеренная масштабной единицей принятой для всего пространства равна 1. В ПДСК базисные векторы обозначаются(ось ОХ),(ось ОY), (ось ОZ). Все проекции в этом случае предполагаются прямоугольными. В отличие от специальных(ПДСК) ДСК в общем случае называются общими ДСК.
Базисная тройка векторов подразделяется на два типа правая и левая. Базисназывается
правым, если при наблюдении с
конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки и наоборот. Соответствующие им системы координат также называются правыми и левыми.
Замечание: Если длины базисных векторов равны 1 то СК называется нормированной. Во многих случаях длина вектора называется его нормой. Если базисные вектора попарно ортогональны то и СК – ортогональная. Ортогональная и нормированная СК называется ортонормированной.
Координаты линейной комбинации векторов. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами.
Теорема: Координаты линейных комбинаций векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат линейных векторов.
Доказательство: Координаты векторов есть величины их проекций на соответствующих координатных осях. Но тогда утверждение теоремы следует из теоремы о величинах проекций линейных комбинаций векторов.
это равносильно следующей системе равенств
Следствие 1:
Следствие 2: Для того чтобы два вектора были коллинеарны необходимо и достаточно чтобы их координаты были пропорциональны.
Доказательство: Пусть вектор параллелен векторуследовательно. Векторное равенство (**) равносильно:Если все координаты отличны от 0 то.
29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
В старой системе: .
В силу единственности разложения вектора по базису получим: . Эти формулы выражают старые координаты точки М через ее новые координаты.
тогда связь между новыми и старыми координатами: