5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.

Теорема: Если все члены некоторой строки матрицы определителя умножить на некоторое число с, то порожденный ею определитель умножится на это число.(Общий множитель элементов некоторой строки матрицы можно вынести за знак определителя).

Доказательство: Если определитель D представить по определению как алгебраическую сумму всевозможных произведений, то каждый член определителя в качестве множителя будет содержать число С. Вынесем С за скобку. Алгебраическая сумма, которая будет находиться в скобках, равна определителю матрицы А.(ч.т.д.)

Следствие: Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.

Доказательство: по следствию из теоремы о перестановке двух строк в матрице определителя.

6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.

Теорема: Если каждый элемент некоторой строки матрицы определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей у которых все строки кроме данной прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.(тоже верно и для столбцов).

Доказательство: Представим левый определитель в виде алгебраической суммы всех возможных произведений(по определению определителя). Каждый член левого определителя в качестве множителя будет содержать один и только один элемент из k-той строки. После раскрытия скобок эту алгебраическую сумму можно представить в виде двух алгебраических сумм, одна из которых равна первому определителю, а вторая – второму определителю справа.(ч.т.д.)

Это свойство распространяется на случай когда каждый элемент некоторой строки есть сумма S – слагаемых.

Следствие1: Если к элементам некоторой строки матрицы определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число С, то порожденный этой матрицей определитель не изменится.

Определение: Говорят, что одна из строк матрицы является линейной комбинацией остальных её строк, если она получается путем почленного сложения остальных её строк, умноженных на некоторое число.

Свойство2: Если у матрицы одна из строк является линейной комбинацией остальных строк, то порожденный ею определитель равен 0.

7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.

Определение: Минором элемента a_{i, k} определителя порядка n, называется определитель порядка n-1 матрица которого получается из матрицы данного определителя вычеркиванием i-той строки и k-того столбца, на пересечении которых расположен элемент a_{i, k}. Минор a_{i, k} обозначается М_{i, k}

Определение: Алгебраическим дополнением элемента a_{i, k} называется его минор, умноженный на (-1)^i+k. Обозначается А_{i, k}. Таким образом А_{i, k}=(-1)^i+k М_{i, k}.

Теорема: Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) его матрицы на их алгебраические дополнения.

Доказательство: А) Докажем что произведение а_{1, 1}А_{1, 1} входит в состав определителя.

А_{1, 1}=(-1)¹⁺¹М_{1, 1}=М_{1, 1}= определитель (n-1) порядка = сумме (n-1)! его членов. Таким образом а_{1, 1}А_{1, 1} = сумме (n-1)! слагаемых. Надо доказать что каждое слагаемое этой суммы есть член первоначального определителя.

где S – число инверсий в перестановке α₂, α₃…α_n чисел 2,3… n.

Рассмотрим произведение а_{1, 1}А_{1, 1} .

Знак этого члена в первоначальном определителе определяется типом перестановки 1, α₂, α₃…α_n. Но число инверсий в этой перестановке совпадает с числом инверсий в перестановке α₂, α₃…α_n. А поэтому а_{1, 1}a_{2, α2} a_{3, α3}…a_{n, α n} в первоначальном определителе будет иметь тот же знак (-1)^S который оно имеет в сумме а_{1, 1}А_{1, 1}. Следовательно а_{1, 1}А_{1, 1} является частью суммы дающей первоначальный определитель.

В) Покажем что произведение а_{i, k}А_{i, k} входит в состав определителя.

Рассмотрим первоначальный определитель D и преобразуя его матрицу так, чтобы элемент а_{i, k} встал на первое место в первой строке: i-тую строку будем последовательно менять со строками i-1…1; после этого k-тый столбец будем последовательно менять местами со столбцами k-1…1. Получим определитель D’:

Пусть A’_i,k – алгебраическое дополнение элемента а_{i, k} в D’, М’_{i, k} – минор элемента а_{i, k} в D’.

A’_i,k= М’_{i, k}= М_{i, k} – минор элемента а_{i, k} в D.

В силу А) а_{i, k} A’_i,k= а_{i, k} М_{i, k} входит в D’. D’ получается из D (i-1)+(k-1)=i+k-2 транспозицией строк и столбцов. Поэтому D’=(-1)^i+kD а значит в D входит и

С)Выделим в матрице определителя некоторую строку a_{i, 1} a_{i, 2}…a_{i, n}. Все произведения а_i,1A_i,1, a_i,2A_i,2…a_i,nA_i,n входят в D в силу второй части доказательства. Эти произведения попарно не содержат одинаковых членов определителя D, т.к. члены определителя, входящие в два разных произведения отличаются множителями i-той строки. Отсюда следует что сумма а_i,1A_i,1+ a_i,2A_i,2+…+a_i,nA_i,n тоже входит в состав определителя.

Последняя сумма состоит из n произведений, а каждое произведение есть сумма (n-1)! Слагаемых, каждое из которых является членом определителя. Значит сумма равна нашему определителю.(ч.т.д.)

Следствие1( о чужой строке): Сумма произведений чисел b₁,b₂…b_n на алгебраические дополнения A_i,1,A_i,2…A_i,n элементов i-той строки определителя, равна определителю, матрица которого получается из матрицы данного определителя заменой i-той строки ( a_{i, 1} a_{i, 2}…a_{i, n}) строкой b₁,b₂…b_n ( чужой строкой).

Следствие2(о чужих алгебраических дополнениях): Сумма произведений элементов некоторой строки матрицы определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (чужие алгебраические дополнения) равна 0.