49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.

Определение. Линейное пространство V над полем Р называется евклидовым пространством, если любым двум элементам этого пространства x и y по некоторому правилу ставится в соответствие число обозначаемое (х,у), называемое скалярным произведением этих элементов. Причем выполняются следующие аксиомы: 1⁰ (x, y) = (y, x)

2⁰ (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y)

3⁰ ( x, y) =  (x, y)

4⁰ (x, x) > 0, если x  Θ и (x, x) = 0, если x = Θ.

Пример 1. Рассмотрим пространство V₃ всех свободных векторов. Скалярное произведение определим, как это сделано было в аналитической геометрии. Все аксиомы 1⁰ - 4⁰ при введенном нами ранее определении скалярного произведения будут выполняться. Стало быть, линейное пространство V₃ со скалярным произведениям – евклидово пространство.

Пример 2. Рассмотрим линейное пространство Rⁿ упорядоченных совокупностей n вещественных чисел - пространство координат элементов. Положим x = ( x₁ x₂ x₃ … x_n ) y = ( y₁ y₂ y₃ … y_n ) тогда введением скалярного произведения в виде . Легко показать что все аксиомы выполняются.

Определение: Длиной вектора х евклидова пространства называется число обозначаемое и равное.

Для пространства V₃ Это определение дает обычную длину вектора. Для пространства Rⁿ длина вектора определяется по формуле

Утверждение: Для любых двух элементов х и у произвольного евклидового пространства справедливо неравенство называемое неравенством Коши–Буняковского. Или что тоже самое.

Доказательство: в силу аксиомы 4⁰ имеем ( x – y,  x - y)  0. В силу аксиом 1⁰ - 3⁰ раскроем это неравенство: ² (x, x) - 2(x, y) + (y, y)  0

Этот трехчлен больше или равен нулю. Т.е. квадратное уравнение относительно  не имеет действительных корней, а может иметь лишь нулевой корень. Значит его дискриминант равен или меньше нуля: D = (x, y)² – (x, x)(y, y)  0 или (x, y)² < (x, x)(y, y) |x, y|  |x||y|. Теорема доказана.

Определим угол между векторами. Углом между векторами назовем угол, косинус которого определяется из соотношения в силу неравенства Коши – Буняковского |cos|  1, что корректно.

Векторы х и у будем называть ортогональными, если (x, y)=0, т.е. угол между ними равен 90 градусов.

Записывая неравенство Коши-Буняковского для векторов различных евклидовых пространств будем получать различные неравенства. Например записывая неравенство (**) для пространства Rⁿ x = ( x₁ x₂ x₃ … x_n ) y = ( y₁ y₂ y₃ … y_n ) получим :

50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.

Определение. Линейное пространство V над полем Р называется евклидовым пространством, если любым двум элементам этого пространства x и y по некоторому правилу ставится в соответствие число обозначаемое (х,у), называемое скалярным произведением этих элементов. Причем выполняются следующие аксиомы: 1⁰ (x, y) = (y, x)

2⁰ (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y)

3⁰ ( x, y) =  (x, y)

4⁰ (x, x) > 0, если x  Θ и (x, x) = 0, если x = Θ.

Пример 1. Рассмотрим пространство V₃ всех свободных векторов. Скалярное произведение определим, как это сделано было в аналитической геометрии. Все аксиомы 1⁰ - 4⁰ при введенном нами ранее определении скалярного произведения будут выполняться. Стало быть, линейное пространство V₃ со скалярным произведениям – евклидово пространство.

Пример 2. Рассмотрим линейное пространство Rⁿ упорядоченных совокупностей n вещественных чисел - пространство координат элементов. Положим x = ( x₁ x₂ x₃ … x_n ) y = ( y₁ y₂ y₃ … y_n ) тогда введением скалярного произведения в виде . Легко показать что все аксиомы выполняются.

Теорема Пифагора. Пусть векторы х и у ортогональны. Будем называть вектор х+у гипотенузой треугольника построенного на векторах х и у. Учитывая что (х,у)=0(т.к. х и у ортогональны) запишем цепочку равенств | x + y |² = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) = | x |² + | y |². Таким образом | x + y |² =| x |² + | y |², т.е. квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Неравенство треугольника. Пусть х и у произвольные векторы евклидова пространства. По аналогии с элементарной геометрией вектор х+у будем называть третьей стороной треугольника построенного на векторах х и у. Используя неравенство Коши-Буняковского получим

Таким образом . Т.е. длина стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других его сторон. Неравенство (1) доказанное в общем евклидовом пространстве называется неравенством треугольника.

Запишем (1) в пространстве Rⁿ. Пусть x = ( x₁ x₂ x₃ … x_n ) y = ( y₁ y₂ y₃ … y_n ) тогда х+у=( x₁+ y₁ … x_n+ y_n). Неравенство (1) в этом случае выглядит так

Ортогональный базис. В произвольном линейном пространстве нет особых оснований предпочитать один базис другому. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортогональными базисами.

Определение: Базис e₁, e₂, … e_n (1). Пространство V называется ортогональным, если векторы системы (1) попарно ортогональны. Если к тому же длины векторов системы (1) равны 1. то базис (1) называется ортонормированным. Т. о. система векторов (1) образует ортонормированный базис если

Справедливы следующие утверждения:

1.Любая система попарно ортоганальных векторов отличных от 0 линейного пространства V линейно не зависима.

2.В пространстве V существуют ортонормированные базисы

3.Пусть

Для того чтобы справедливо было равенство, необходимо и достаточно, чтобы базис e₁, e₂, … e_n был ортонормированным.