19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.

Легко проверить что всякое элементарное преобразование квадратной матрицы А эквивалентно умножению последней на неособенную матрицу специального вида, представляющую собой результат применения соответствующих элементарных преобразований к единичной матрице того же порядка, что и матрица А. При этом если преобразование проводить над столбцами матрицы А, то ее следует умножать справа на матрицу специального вида, а если преобразование проводить над строками то умножать слева.

Легко показать что любую неособенную матрицу А путем элементарных преобразований только столбцов(только строк) можно привести к единичной матрице Е.

Теорема: Если совершенные над А элементарные преобразования приводящие ее к Е в том же порядке применить к Е, то в результате получится обратная матрица А^-1.

Доказательство: Пусть в результате одинаковых элементарных преобразований совершенных нал столбцами матриц А и Е, матрица А перешла в Е, а матрица Е в некоторую матрицу В. Указанным преобразованиям отвечает умножение матриц А и Е справа на матрицу В.

А^-1*А=Е (А^-1*А)В=Е*В А^-1=В (ч.т.д.)

Замечание: В случае нахождения обратной матрицы в процессе преобразований следует использовать преобразования только строк или только столбцов. Т.к. преобразование строк соответствует умножению слева на специальную матрицу а столбцов – справа.

Сущность метода Гаусса:

1)формируем расширенную матрицу (А\Е) приписыванием к матрице А справа .матрицы Е того же порядка;

2)с помощью метода Гаусса, производя элементарные преобразования только над строками, приводим сформированную расширенную матрицу к виду (Е\В) , что всегда возможно, если А не вырождена.

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих типов:

а) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

б)умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

в) прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой ее строки (соот­ветственно столбца), умноженной на любое число.

Тогда А^-1 =В.

20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.

Общий вид системы линейных уравнений:

(1)

()- решение системы –упорядоченная совокупность чисел, которые при подставлении в сумму вместообращает уравнения системы (1) в верное равенство.

Запишем матрицу системы (1), добавив справа столбец свободных членов:

(2)

Матрица (2) расширенная матрица системы линейных уравнений.

Определение: Если в системе все b_к(k=1,...m) равны нулю, то такая система называетсяоднородной. Если хотя бы один из них b_к0, то система называетсянеоднородной.

Определение: Система называетсясовместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае она называетсянесовместной.

Определение: Совместная система линейных уравнений называетсяопределённой, если она имеет единственное решение инеопределённой- если решений множество.

Критерий совместности (Теорема Кронекера-Капелли):для того, чтобы система уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы были равны. (или противоречива:).

Доказательство: Необходимость. Пусть сумма (1)-совместна, докажем что, т.е. есть решения () и. Из последнего столбца м.вычтем линейную комбинацию столбцов матрицыA, получим матрицу

.

Достаточность. Пусть, докажем, что сумма совместна. Т.к., то существует минор, который является базисным. На основании теоремы о базисном миноре последний столбец матрицыявляется линейной комбинацией остальных столбцов матрицы.

()- решение системы (1), т.е. система (1)-совместна.

Критерий определённости. Совместная система является определенной, еслии неопределенной, если.(n– кол-во неизвестных.)

Доказательство а) Пусть- это значит, что столбцы матрицыAлинейно зависимы, т.е. существуют числане все равные нулю и такие, что(*). По условию система 1 совместна, т.е. существуют решения () системы (1)

(**). (*)+(**)=,т.е.- решение системы (1).

б)Пусть r=n(значит), докажем, что сумма (1) – определена.

Пусть решений два, тогда ,,хотя бы одно, тогда,но так как ранг матрицы А равенn,то все столбцы матрицы А линейно независимы, значит линейная комбинация этих столбцов = 0, только когда все коэффициенты = 0, т.е., …- противоречие => 1 решение.(ч.т.д.)

Замечание: Неопределённая сумма имеет б.много решений, т.к. из (*) и (**)следует, что , гдеk=0,1,-1,2,-2,… -является решениями.