- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.
- •2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
- •4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •14. Теорема об определителе произведения матриц.
- •15. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.
- •20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •21. Решение совместной системы линейных уравнений.
- •22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.
- •25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
- •35. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
- •42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •47.Определение линейного пространства. Примеры.
- •49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.
- •50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.
9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
Определение: Матрица А’ получающаяся из матрицы А путем замены строк столбцами называется транспонированной по отношению к матрице А.
Справедливы следующие правила транспонирования матриц:
(αА+αВ)’=αA’ + αB’
(AB)’=B’A’
Идея доказательства показать что матрицы (AB)’ и B’A’ имеют одинаковую размерность и у них равны соответствующие элементы.
Определение: Если А – произвольная квадратная матрица и A=A’ (-A=A’), то матрица А называется симметрическойили кососимметрической
10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
Определение: Квадратная матрица А называется обратимой если существует такая квадратная матрица Х что АХ=ХА=Е. (1)
Каждая матрица Х удовлетворяющая равенству (1) называется обратной матрице А или обращением матрицы А. Обратная матрица к матрице А обозначается А-1
А А-1= А-1А=Е Отсюда следует что для матрицы А-1 обратной будет (А-1)-1=А
Теорема: У каждой обратимой матрицы существует единственное обращение.
Доказательство: Предположим что у матрицы А существует наряду с Х еще одна обратная матрица У, т.е. АУ=Е. Тогда
(ХА)У=ЕУ=У ┐
Х(АУ)=ХЕ=Х ┘Следовательно Х=У. Т.е. у матрицы А существует единственное обращение.(ч.т.д.)
11. Определение обратной матрицы. Доказать что (АВС)-1=С-1В-1А-1.
Определение: Квадратная матрица А называется обратимой если существует такая квадратная матрица Х что АХ=ХА=Е. (1)
Каждая матрица Х удовлетворяющая равенству (1) называется обратной матрице А или обращением матрицы А. Обратная матрица к матрице А обозначается А-1
А А-1= А-1А=Е Отсюда следует что для матрицы А-1 обратной будет (А-1)-1=А (3)
Теорема: Если квадратные матрицы А, В, С одного и того же порядка обратимы, то их произведение тоже обратимо и (АВС)-1=С-1В-1А-1.
Доказательство: А(В(СС-1)В-1)А-1=Е и С-1(В-1(А-1А)В)С=Е (ч.т.д.)
Для любого натурального m по определению Аm=А*А*…*А – m-раз.
По определению А0=Е.
Определение: Для каждой обратимой матрицы А, А-2=А-1*А-1; А-3= А-1*А-1*А-1 (4)
Из (3) и (4) следует что для каждой обратимой матрицы А и любых целых чисел р и q имеют место обычные правила действия со степенями:
АрАq =Ар+ q
(АВ)р=АрВр если АВ=ВА
(Ар)q=Ар*q
12.Доказать что в результате транспонирования обратимой матрицы получается снова обратимая матрица и (A’)-1=(A-1)’.
Теорема: В результате транспонирования обратимой матрицы А получается снова обратимая матрица и (A’)-1=(A-1)’.
Доказательство: Применим правила транспонирования к соотношению АХ=ХА=Е:
(АХ)’=(ХА)’=Е’
А’Х’=Х’А’=Е
Из определения обратной матрицы следует что (A’)-1= Х’=(A-1)’(ч.т.д.)
13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
Прямоугольную матрицу А можно вертикальными и горизонтальными линиями разбить на прямоугольные клетки(блоки). В частности матрица может быть разбита только горизонтальными или только вертикальными линиями. (Аα,β)s,t – блочная матрица. Рассмотрим две матрицы А и В одинаковой размерности и с одинаковым разбиением на блоки. Соответствующие блоки Аα,β и Вα,β имеют одинаковую размерность mα x n β , α=1..s, β=1..t. Тогда в соответствии с правилом сложения матриц операция сложения блочных матриц одинаковых размеров с одинаковым разбиением на блоки, производится точно также как если бы вместо блоков стояли числовые элементы.
Чтобы распространить правило умножения матриц на блочные матрицы необходимо чтобы все горизонтальные размеры блоков первой матрицы совпали с соответствующими размерами второго сомножителя. Число столбцов блока Аα,β равно числу строк блока Вβ,с .
Β изменяется от 1 доt, с изменяется от 1 до u. Таким образом возможно умножение матриц А и В формально также как если бы вместо блоков стояли числовые элементы.
Определение: Квадратная матрица у которой все элементы расположенные под(над) главной диагональю равны 0 называется верхней(нижней) треугольной матрицей. Аналогичные понятия вводятся и для блочных матриц.
Определение: Блочная матрица А называется верхней(нижней) квазитреугольной матрицей если все диагональные блоки и сама матрица А квадратные матрицы, и все не диагональные блоки расположенные под(над) диагональными блоками нулевые матрицы.
Определение: Блочная матрица А называется квазидиагональной если все диагональные блоки и сама матрица А квадратные матрицы, а все недиагональные блоки – нулевые матрицы.
Теорема: Определитель квазитреугольной матрицы связан с определителем диагональных матриц следующим соотношением:
(♀) где П – произведение.
Доказательство: Рассмотрим сначала квазитреугольную матрицу где А12=0, ,,
По определению
Т.к. А12=0 то из всех произведений могут быть ≠0 только те в которых индексы. Вследствие этого остальные индексы могут принимать значения только из множества. В этих условиях число инверсий в перестановкеравно:
т.е.
Учитывая это находим что
Отсюда следует что
Рассматривая в общем случае квазитреугольную матрицу
Как матрицу гдесогласно (*) будем иметь. Матрицаснова квазитреугольная. Проделав над ней туже операцию, получим. После (р-1) таких шагов придем к (♀).
Аналогично доказывается равенство (♀) применительно к верхней квазитреугольной матрице.(ч.т.д.)