1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.

Говорят, что на множестве Х задана алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре элементов х, у из Х поставлен в соответствие определенный третий элемент Z из этого множества.

Элемент Z называется композицией элементов x и y. Например алгебраическая операция может быть названа сложением и тогда Z – сумма элементов x и y(Z=x+y). Алгебраическая операция может быть названа умножением и тогда Z – произведение элементов x и y(Z=x*y). Сложение векторов – алгебраическая операция. Скалярное произведение векторов не является алгебраической операцией, т.к. каждой паре векторов в соответствие ставится не вектор а число.

Возможно, что для операции определенной на Х будет определена новая терминология и символика. Алгебраическая операция обозначается “°”. Композиция элементов х и у Z=x°y.

Множество чисел называется замкнутым относительно некоторой алгебраической операции(+,-,*,/), если результат, произведенный над любыми двумя числами множества принадлежит этому множеству(когда речь идет о делении делитель не равен 0). Например N - множество натуральных чисел(+,*), Z - множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел(+,-,*,/).

Множество чисел, замкнутое относительно некоторых алгебраических операций(+,-,*,/) называется числовым полем.

Р – любое числовое поле, а не = 0, тогда а/а=1 принадлежит Р следовательно Z принадлежит Р. Каждое Q есть отношение двух Z чисел следовательно принадлежит Р, значит в поле Р содержатся все Q, которые сами образуют поле.

Пусть Р – произвольное числовое поле, n,m – любые целые числа.

Упорядоченная совокупность n*m чисел поля Р, записанная в виде прямоугольной таблицы в которой n - строк и m – столбцов называется матрицей размерностью n*m.

Матрицы обозначаются А,В,С… Числа поля Р составляющего матрицу называются её элементами. Если все элементы матрицы А обозначить а_i,j где i – номер строки, а j – номер столбца на пересечении которых расположен этот элемент, то матрицу записывают заключая таблицу чисел в круглые скобки. Матрицу у которой m=n называют квадратной матрицей порядка m.

2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.

Каждое расположение чисел 1,2…n в некотором порядке называется перестановкой. Число всех перестановок S=n! Перестановка 1,2…n называется главной.

Если из двух данных чисел перестановки большее стоит впереди меньшего, то говорят, что эти числа образуют инверсию.

Например, в перестановке 5,2,3,4,1,6 пары чисел 5 и 2, 5 и 3, 5 и 4, 5 и 1, 2 и 1, 3 и 1, 4 и 1 образуют инверсию. S=7.

Количество всех инверсий образованных числами перестановки k₁, k₂…k_n называются числом инверсий перестановки и обозначается S(k₁, k₂…k_n).

Данная перестановка называется четной или нечетной в зависимости от того четно или нечетно число инверсий этой перестановки. Таким образом перестановка 5,2,3,4,1,6 нечетна.

Пусть дана произвольная перестановка чисел(n>=2) 1,2…n. Операция, которая переставляет какие-либо два числа перестановки называется транспозицией. Транспозиция чисел k и l обозначается(k, l).

Теорема1: Любая транспозиция переводит четную перестановку в нечетную, а нечетную в четную.

Доказательство: Рассмотрим (k, l). Если числа k и l в перестановке стоят рядом, то транспозиция (k, l) изменяет число инверсий в перестановке ровно на 1, а значит переводит перестановку из четной в нечетную и наоборот. Пусть между числами k и l есть несколько чисел (… k,a₁,a₂…a_r,l…) (1) перед k и после l могут быть а могут и не быть числа. (… l,a₁,a₂…a_r,k…) (1’)

Надо показать что перестановки (1) и (1’) имеют разный характер четности. Транспозиция (k, l) равносильна последовательному применению транспозиции соседних элементов.

(k,a₁),(k,a₂)…(k,a_r),(k,l),(a_r,l),(l,a_r-1)…(l,a₁) – транспозиций 2r+1. Значит последовательное применения транспозиций соседних элементов приведет к изменению характера четности перестановки(ч.т.д.)

Теорема2: Количество всех четных перестановок чисел 1,2…n равно количеству всех нечетных перестановок этих чисел и равно n!/2.

Доказательство: Пусть среди перестановок n – чисел S₁-четных S₂-нечетных. S₁+S₂=n! Во всех перестановках чисел 1,2…n осуществим одну и ту же транспозицию, тогда по теореме1 каждая нечетная перестановка перейдет в четную а четная в нечетную. Следовательно, будет S₁ нечетных и S₂ четных. Следовательно, S₂ =S₁.(ч.т.д.)

Замечание: Очевидно, что от любой перестановки чисел 1,2…n можно перейти к любой другой перестановки этих чисел с помощью некоторого числа транспозиций.

Легко заметить что определители 2 и 3 порядков есть алгебраические суммы всевозможных произведений которые можно составить из элементов соответствующих матриц беря ровно по 1 множителю из каждой строки и каждого столбца. Напишем все произведения так, чтобы множители были расположены в порядке следования строк, т.е. чтобы первые индексы образовывали главную перестановку, тогда вторые индексы в указанном произведении образуют следующие перестановки:

для определителя 2 порядка: 1,2 и 2,1;

для определителя 3 порядка: 123 и 321 и 231 и 321 и 213 и 132.

Если в определителях 2 и 3 порядка записать множитель некоторого произведения в порядке следования строк, то знак этого произведения будет + или – в зависимости от того четная ил нечетная будет перестановка индекса столбцов в этом произведении.

Определителем n-ного порядка порожденным квадратной матрицей n-ного порядка называется алгебраическая сумма всех возможных произведений каждый из которых в качестве множителя содержит 1 и только 1 элемент из каждой строки и каждого столбца матрицы. Перед произведением ставится знак + или – в зависимости от того четной или нечетной будет перестановка индексов столбцов в этом произведении при условии что множители выписаны в порядке следования строк, т.е. первые индексы образуют главную перестановку. Обозначают определитель, заключая соответствующую матрицу в вертикальные черточки.

Отдельные произведения алгебраической суммы называются членами определителя. Членов в определителе столько, сколько существует перестановок из n-индексов. Половина членов определителя с +, половина с -.