- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.
- •2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
- •4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •14. Теорема об определителе произведения матриц.
- •15. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.
- •20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •21. Решение совместной системы линейных уравнений.
- •22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.
- •25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
- •35. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
- •42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •47.Определение линейного пространства. Примеры.
- •49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.
- •50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.
44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.
Для вывода уравнения построим:
Согласно определению:
Так как у2>=0 то парабола лежит в правой полуплоскости. При х возрастающем от 0 до бесконечности . Парабола симметрична относительно Ох. Точка пересечения параболы со своей осью симметрии называется вершиной параболы.
45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
Существует 8 типов КВП:
1.эллипсы
2.гиперболы
3.параболы
Кривые 1,2,3 – канонические сечения. Если пересечь конус плоскостью параллельной оси конуса то получим гиперболу. Если плоскостью параллельной образующей то параболу. Все плоскости не проходят через вершину конуса. Если любой другой плоскостью то эллипс.
4.пара параллельных прямых y2+ a2=0, a0
5.пара пересекающихся прямых y2- k2 x2=0
6.одна прямая y2=0
7.одна точка x2+ y2=0
8.пустое множество - пустая кривая (кр. без точек) x2+ y2+1=0 или x2+ 1=0
Теорема(основная теорема о КВП): Уравнение вида
a11 x2 + 2 a12 x y + a22 y2 + 2 a1 x + 2 a2 y + a0 = 0
может представлять только кривую одного из указанных восьми типов.
Идея доказательства состоит в том чтобы прейти к такой системе координат в которой уравнение КВП примет наиболее простой вид, когда тип кривой, которую оно представляет становится очевидным. Теорема доказывается с помощью поворота системы координат на такой угол при котором член с произведением координат исчезает. И с помощью параллельного переноса системы координат при котором исчезает или член с переменной х или член с переменной у.
Переход к новой системе координат: 1. Параллельный перенос
2. Поворот
45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
ПВП - множество точек прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению 2 степени: (1)
Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при квадратах или при произведениях отличен от 0. Уравнение инвариантно относительно выбора системы координат.
Теорема Любая плоскость пересекает ПВП по КВП за исключением особого случая, когда в сечении – вся плоскость.(ПВП может быть плоскостью или парой плоскостей).
Существует 15 типов ПВП. Перечислим их указав уравнения, которыми они задаются в подходящих системах координат. Эти уравнения называются каноническими(простейшими). Строят геометрические образы соответствующие каноническим уравнениям методом параллельных сечений: Пересекают поверхность координатными плоскостями и плоскостями параллельными им. В результате получают сечения и кривые, которые дают представление о форме поверхности.
1. Эллипсоид.
Если a=b=c то получаем сферу.
2. Гиперболоиды.
1). Однополостный гиперболоид:
Cечение однополостного гиперболоида координатными плоскостями: XOZ: - гипербола.
YOZ: - гипербола.
Плоскостью XOY: - эллипс.
2). Двуполостной гиперболоид.
Начало координат – точка симметрии.
Координатные плоскости – плоскости симметрии.
Плоскость z = h пересекает гиперболоид по эллипсу , т.е. плоскость z = h начинает пересекать гиперболоид при | h | c. Сечение гиперболоида плоскостями x = 0 и y = 0 - это гиперболы.
Числа a,b,c в уравнениях (2),(3),(4) называются полуосями эллипсоидов и гиперболоидов.
3. Параболоиды.
1). Эллиптический параболоид:
Сечение плоскостью z = h есть , где . Из уравнения видно, что z 0 – это бесконечная чаша.
Пересечение плоскостями y = h и x=h - это парабола и вообще
2). Гиперболический параболоид:
Очевидно, плоскости XOZ и YOZ – плоскости симметрии, ось z – ось параболоида. Пересечение параболоида с плоскостью z = h – гиперболы: , . Плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум осям которые являются ассимптотами.
4. Конус и цилиндры второго порядка.
1). Конус – это поверхность . Конус оюразован прямыми линиями, проходящими через начало координат 0 ( 0, 0, 0 ). Сечение конуса – это эллипсы с полуосями .
2). Цилиндры второго порядка.
Это эллиптический цилиндр .
Какую бы прямую мы не взяли пересекающую эллипсы и параллельную оси Oz то она удовлетворяет этому уравнению. Перемещая эту прямую вокруг эллипса получим поверхность.
Гиперболический цилиндр:
На плоскости ХОУ это гипербола. Перемещаем прямую пересекающую гиперболу параллельно Oz вдоль гиперболы.
Параболический цилиндр:
На плоскости ХОУ это парабола.
Цилиндрические поверхности образуются прямой(образующей) перемещающейся параллельно самой себе вдоль некоторой прямой(направляющей).
Далее идут ПВП состоящие из плоскостей.(это тоже цилиндры т.к. плоскость состоит из параллельных прямых).
10. Пара пересекающихся плоскостей
11.Пара параллельных плоскостей
12. - прямой
13.Прямая – «цилиндр», построенный на одной точке
14.Одна точка
15.Пустое множество
Основная теорема о ПВП: Каждая ПВП принадлежит к одному из 15 типов рассмотренных выше. Других ПВП нет.
Поверхности вращения.Пусть задана ПДСК Oxyz и в плоскости Oyz линия е определяемая уравнением F(y,z)=0 (1). Составим уравнение поверхности полученной вращением этой линии вокруг оси Oz. Возьмем на линии е точку М(y,z). При вращении плоскости Oyz вокруг Oz точка М опишет окружность. Пусть N(X,Y,Z) – произвольная точка этой окружности. Ясно что z=Z. .
Подставив найденные значения z и y в уравнение (1) получим верное равенство: т.е. координаты точкиN удовлетворяют уравнению . Таким образом любая точка поверхности вращения удовлетворяет уравнению (2). Не сложно доказать что если точкаN(x1,y1,z1) удовлетворяет уравнению (2) то она принадлежит рассматриваемой поверхности. Теперь можно сказать что уравнение (2) есть искомое уравнение поверхности вращения.