- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р.
- •2. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.
- •4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.
- •8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.
- •10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •14. Теорема об определителе произведения матриц.
- •15. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.
- •20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.
- •21. Решение совместной системы линейных уравнений.
- •22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.
- •24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.
- •25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка.
- •35. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •39. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.
- •42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •47.Определение линейного пространства. Примеры.
- •49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.
- •50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.
17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Определение:Строки А=(а1,...,аn), В=(b1,...,bn),...С=(с1,с2,...,сn) называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа, не все равные нулю, что справедливы равенства :, и соответственно строки называются линейно независимыми, если эти равенства возможны, когда все числаравны нулю.
Очевидными являются следующие условия:
1.)Для того что бы одна из строк являлась линейной комбинацией остальных строк необходимо и достаточно чтобы все строки были линейно зависимыми
2.)Если некоторые строки(столбцы) матрицы линейно зависимы, то и все строки(столбцы) этой матрицы линейно зависимы
3.)Пусть даны 2 системы столбцов(строк) a1 ,a2 ,…,am и b1 ,b2 ,…,bn . Если все строки(столбцы) первой системы являются линейной комбинацией столбцов(строк) второй системы, то всякая линейная комбинация столбцов(строк) первой системы являются линейной комбинацией столбцов(строк) второй системы.
Теорема: Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.
Доказательство: Пусть r(A)=r>0 Покажем что в А существует r линейно независимых столбцов. Пусть Ar матрица, определитель которой есть базисный минор Мr. Предположим что базисные столбцы матрицы линейно зависимы тогда линейно зависимыми будут столбцы матрицы Аr. В этом случае Mr=0 что невозможно, т.к. Mr базисный минор < >0. Таким образом, r линейно независимы. Теперь докажем р>r столб матрицы А линейно зависимы. Из этих р столбцов составим матрицу В. r(В)<=r т.к. каждый минор матрицы В является минором А и следовательно в матрице В нет миноров ≠ 0 порядок которых > чем r. Таким образом r(В)<р и хотя бы один столбец матрицы В не входит в её базисный минор. Этот столбец линейно выражается через остальные(по”Теор о базисном миноре ”). От сюда следует, что эти р-столбцы линейно зависимы.
Следствие: Max число линейно независимых строк матрицы А равно Max числу линейно независимых столбцов этой матрицы.
18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
Метод окаймляющих миноров.
Теорема: Пусть матрица А имеет отличный от 0 минор Mr r-го порядка, все миноры r+1 порядка содержат минор Mr(окаймляющий минор)=0, тогда ранг матрицы А=r.
Доказательство: Предположим что есть Ms s>r < >0 s-столбцы образующий этот минор будут линейно не зависимы ,т.к. все столбцы матрицы А образующие Ms являются линейной комбинацией r-столбцов на которых расположен минор Mr, то представив каждый столбец Ms в виде линейной комбинации столбцов на которых расположен минор Mr. И представив Ms в виде суммы определителей увидим, что каждый определитель этой суммы имеет пропорциональные столбцы, а значит Ms=0. Таким образом Ms=0 получили противоречие, значит наивысший порядок отличный от 0 Mr= Mr r, т.е. r(A)=r. ч.т.д.
Правило вычисления ранга матрицы: Ищем минор первого или сразу второго порядка ≠0 затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка до тех пор пока не найдем среди них отличный от 0. Если уже найден минор отличный от нуля то вычисляем окаймляющие его миноры. Если все они равны 0 или таких миноров не существует(число строк и столбцов матрицы А равно r) то ранг матрицы равен r. Если среди миноров r+1 порядка есть отличный минор от 0 то продолжаем этот процесс.
Метод элементарных преобразований.(Метод Гаусса)
Определение: Назовем прямоугольную матрицу ступенчатой если каждая её строка имеет не нулевой элемент и первый не нулевой элемент каждой строки начинается со 2-й расположенной правее 1 и 0 элемент предыдущей строки. В частности квадратная ступенчатая матрица называется треугольной. Из этого определения следует: число строк ступенчатой матрицы не превосходит числа её столбцов.
Элементарные преобразования строк матрицы:
1)перестановка 2-х строк матрицы
2)умножение любой строки матрицы на число < >0.
3)прибавление к элементам любой строки матрицы соответствующих элементов другой строки умноженных на одно и то же число
Теорема: Всякую не нулевую матрицу А можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк и отбрасыванием нулевых строк