42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.

Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек постоянна.

М – произвольная точка эллипса. О – середина F₁F₂. F₁F₂=2с. Сумма расстояний – 2a.Систему координат выберем таким образом чтобы Ох проходило через F_1, F₂ , а Оу делило пополам 2с.

F₁M+ F₂M=2a. - ур-е эллипса.

Преобразуем: ; 2a>2c, a>c,a²-c²=b²

Очевидно что каждая точка эллипса удовлетворяет этому уравнению. Но т.к. в процессе преобразований мы дважды возводили в квадрат обе части то необходимо проверить не получены ли лишние точки. Иначе говоря нужно проверить что каждая точка уравнения (4) принадлежит эллипсу. Предварительно сделаем несколько замечаний о форме линии, соответствующей уравнению (4). . Из уравнений видно что прямая симметрична относительно начала координат. С возрастаниемот 0 до а,убывает отb до 0. Точки кривой лежат в прямоугольнике

Проверим теперь что каждая точка линии определяемая полученным уравнением принадлежит эллипсу. Для этого надо показать что если координаты точки М(х₀,у₀) удовлетворяют (4) то F₁M+ F₂M=2a.

Таким образом лишних точекне появилось.

Числа и- большая и малая полуоси эллипса.F_1, F₂ – фокусы эллипса.

При получаем- уравнение окружности.

Параметрические уравнения эллипса: Построим две окружности радиусом ис центром в начале координат. Из точки О проведем луч наклоненный к Ох под угломt. Проведем горизонтальную прямую через В и вертикальную через А. Изменяя t от 0 до 2 π точка М опишет эллипс. - парам-е уравнения эллипса. При а=b получим - параметрические уравнения окружности.

Определение. Эксцентриситет эллипса – отношение половины расстояния между фокусами к длине его большей оси: .

Так как , следовательно< 1., следовательно,

Замечание: Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его вытянутости. Чем больше эксцентриситет тем меньше отношение (малой оси эллипса к его большой полуоси).

ксцентриситет гиперболы.

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и не равная 0.

Выберем опять оси координат и начало координат посередине отрезка F₁F₂. Расстояние F₁F₂ равно 2с. А разность расстояний обозначим через 2а.

Из определения имеем: . 2а<2c, а<c

Имеем:

возведем в квадрат.

еще раз в квадрат. После простых преобразований получим:

Поделив обе части на получим:.

Как и в случае эллипса необходимо проверить что несмотря на двукратное возведение в квадрат мы не получим лишних точек. И следовательно уравнение (1) – уравнение гиперболы.

Предварительно отметим некоторые свойства линии определяемой уравнением (1). Из уравнения (1) следует что .

Линия (1) симметрична относительно осей координат и относительно начала координат. Видно что . Значит в полосеточек кривой нет. Следовательно кривая состоит из двух отдельных ветвей, одна из которых расположена в полуплоскости(правая ветвь), а вторая – в полуплоскости -(левая ветвь).

Пусть М(х₀,у₀) – произвольная точка линии, определяемая уравнением (1). . Если мы докажем что, то тем самым мы докажем что уравнение (1) является уравнением гиперболы.

далее в эту формулу подставляем у_0, раскрываем скобки, приводим подобные и учитывая что выделим под каждым корнем полные квадраты. В результате получим:. Пусть(для точек правой ветви), тогда.

При (для точек левой ветви) тогда.

Таким образом . Получаем что. Значит уравнение (1) – это уравнение гиперболы. Лишних точек не получилось.

Число а называется вещественной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью. Точки пересечения гиперболы с ее осью симметрии называются вершинами гиперболы. Точки F₁ и F₂ фокусы гиперболы.

Отметим еще одну особенность формулы гиперболы. Рассмотрим вместе с гиперболой пару прямых . В первой четверти при одной и той же абсциссе ординаты точек гиперболы меньше соответствующих ординат соответствующих точек прямой, т.к. . , т.к. . Т.е. точки гиперболы при неограниченном увеличении абсцисс как угодно близко подходят к соответствующим точкам прямой . В силу симметрии точки гиперболы в других четвертях неограниченно приближаются к точкам прямых, когда .

Прямые - асимптоты гиперболы. Асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2а и 2b, расположенного симметрично относительно осей симметрии гиперболы.

Если а=b то уравнение гиперболы принимает вид . Такая гипербола называется равнобочной.

Эксцентриситет гиперболы. Пусть с- половина расстояния между фокусами гиперболы, а – действительная полуось гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Учитывая связь между c,a,b получим: . Эксцентриситет гиперболы больше 1.

Замечание: Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как величину раствора угла между его асимптотами, т.к. , где φ – величина угла между асимптотами гиперболы.