ЛЕКЦИИ 2 Версия 3

а) если X » Y, то M(X) > M(Y) и m(X) > m(Y);

б) если M(X) > M(Y) и m(X) > m(Y), то X » Y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. А. Пусть X » Y. Возьмем любую точку x X. То-

гда найдется y Y такое, что y <x. Но y > m(Y), поэтому x > m(Y). Устремив x к своей нижней границе m(X), получим, что m(X) > m(Y). Наоборот, возь-

мем любую точку y Y. Тогда найдется x X такое, что x > y. Но x < M(X),

поэтому y < M(X). Устремив y к своей нижней границе M(Y), получим, что

M(Y) < M(X), что и требовалось доказать.

Б. Пусть M(X) > M(Y) и m(X) > m(Y). Тогда найдется y Y такое, что y < m(X). В этом случае неравенство x > y будет справедливо для любого x X. С другой стороны, найдется x X такое, что x > M(Y). Но тогда нера-

венство x > y будет справедливо для любого y Y.

Условия а) и б) доказанной леммы не “ симметричны”: непонятно, что будет при M(X) = M(Y) или m(X) = m(Y). Оказывается, что здесь могут быть разные ситуации. Например, легко проверить, что замкнутый отрезок

[a , b] будет доминировать замкнутый отрезок [c , d], если и только если a >c, b >d. Точно такое же утверждение справедливо и для открытых от-

резков. Однако возможна ситуация, когда M(X) = M(Y) и m(X) = m(Y), но ни одно из этих множеств не доминирует другое. Например, так будет, если X

—открытый отрезок (a, b), а Y — замкнутый отрезок [a, b]: здесь точка a

меньше, а точка b — больше всех точек из X.

Очевидно, что “ явно предпочтительной” политике должен отвечать не меньший ожидаемый капитал. Следующая аксиома “ переводит” это требо-

вание “ на язык множеств”.

Монотонность. Если X » Y, то E(X) > E(Y).

Третья, последняя аксиома требует, чтобы функционал ожидаемого эф-

фекта был непрерывным, т.е. менялся мало при малом изменении полити-

ки. Для её строгой формулировки надо формализовать понятие “ близости” политик, т.е. ввести “ расстояние” между ними.

80

Если характеризовать политики как функции от состояния природы, то расстояние между политиками F и G удобнее всего измерять наибольшим отклонением F(s) от G(s), т.е. так называемой равномерной нормой:

ρ(F ,G) = F − G = sup F (s)− G(s) . При этом, если расстояние между поли-

s

тиками F и G равно d, то соответствующие множества XF и XG устроены так: каждая из точек одного множества будет отстоять от какой-то точки другого на расстояние, не превосходящее d, при этом наибольшее из таких расстояний (или верхняя грань их, если наибольшего не существует) будет совпадать с d. Это позволяет ввести расстояние между множествами сле-

дующим образом:

Грубо говоря, расстояние между множествами определяется как наи-

большее расстояние от точек одного до ближайших к ним точек другого

(такое расстояние называется расстоянием Хаусдорфа). Можно сказать и иначе (сравните с определением отношения доминирования!): расстояние между множествами меньше d, если для любой точки одного множества найдется точка другого, отстоящая от нее меньше, чем на d.

Скажем, что последовательность множеств {Xn} сходится к множеству

X (Xn→ X), если ρ(X, Xn) → 0 при n → ∞.

Теперь мы можем сформулировать и последнюю аксиому. Непрерывность. Если последовательность ограниченных множеств

{Xn} сходится к X, то E(Xn) → E(X).

Структура критерия ожидаемого эффекта, удовлетворяющего приведен-

ным аксиомам, дается следующей теоремой.

Теорема 6.1. Критерий ожидаемого капитала E(F) будет непрерывным,

монотонным и согласованным, если и только если он имеет вид:

81

где H(u, v) — непрерывная функция двух переменных, не убывающая по

каждому из них и такая, что H(u, u) = u.

Эта теорема требует некоторых пояснений. По существу, она утвержда-

ет, что критерий эффективности проекта должен учитывать максимально-

и минимально возможные стоимости капитала. Это позволяет назвать его критерием оптимизма-пессимизма. Простой минимаксный (базирующий-

ся на экстремальных значениях возможного эффекта) критерий эффектив-

ности был немного позднее предложен Л.Гурвицем. Он представляет со-

бой среднее арифметическое взвешенное экстремальных значений эффек-

та, и отвечает линейной функции H(u, v) = λu + (1-λ)v.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность условий теоремы очевидна:

а) если X = Ib, то M(X) = m(X) = b и E(X) = H(b, b) = b;

б) Пусть X » Y, тогда в силу леммы 5.1, M(X) > M(Y) и m(X) > m(Y), по-

этому неравенство E(X) > E(Y) вытекает из монотонности функции H;

в) пусть Xn→ X. Тогда очевидно, что M(Xn) → M(X), m(Xn) → m(X). По-

этому E(Xn) = H(M(Xn), m(Xn) ) → H(M(X), m(X) ) = E(X), т.к. функция H

непрерывна.

Необходимость условий теоремы доказывается несколько сложнее.

Пусть u > v. Возьмем множество L, представляющее собой замкнутый

отрезок [v, u], и определим H(u, v) = E(L). Легко видеть, что построенная функция H(u, v) монотонна и непрерывна, причем H(b, b) = b. Докажем, что

функция H(u, v) — искомая.

Пусть X — произвольное ограниченное множество. Рассмотрим отрезки

Yn= [m(X)-1/n, M(X)-1/n] и Zn= [m(X)+1/n, M(X)+1/n].

В силу леммы 6.1 Zn» X » Yn. Поэтому E(Zn) > E(X) > E(Yn). Но

E(Zn) = H(M(X)+1/n, m(X)+1/n), E(Yn) = H(M(X)-1/n, m(X)-1/n) и обе эти ве-

личины стремятся к H(M(X), m(X) ) при n → ∞. Поэтому

E(X) = H( M(X), m(X) ).

82

Доказанная теорема вызывает естественные возражения. В самом деле,

полученный критерий “ реагирует” только на экстремальные значения ка-

питала и “ игнорирует” все промежуточные. Быть может, если взять другую систему аксиом, можно получить более естественный критерий? Оказыва-

ется, что это не так.

Начнем с того, что критерий ожидаемой полезности тоже не лишен ука-

занного недостатка. Действительно, предположим, что при некоторой по-

литике F капитал инвестора имеет равномерное распределение на отрезке

[10, 20]. Рассмотрим другую политику G, которая увеличивает возможные значения капитала вдвое, если они рациональные, и не меняет их в про-

тивном случае. Нетрудно убедиться, что ожидаемая полезность при обоих политиках одна и та же, хотя политика G “ явно лучше”. Поэтому требо-

вать, чтобы критерий ожидаемого капитала “ реагировал” на изменение любых “ промежуточных” возможных значений капитала, нельзя и здесь.

На это можно возразить, что в практических расчетах учитывается лишь конечное число состояний природы, имеющих положительную вероят-

ность. Между тем, критерий (6.1) не учитывает “ промежуточных” значе-

ний капитала даже если количество возможных состояний природы конеч-

но. В частности, если при одной политике капитал может принять одно из значений 1, 3, 4, а при второй — одно из значений 1, 2, 4, то указанный критерий оценит обе политики одинаково, тогда как первая из них пред-

ставляется “ явно лучшей”. Разобраться в поставленной проблеме удалось Я. Каннаи и Б. Пелегу. Они доказали, что «хорошего» критерия24, учиты-

вающего промежуточные значения, не существует, если исходное множе-

ство содержит больше пяти неэквивалентных элементов.

24 Kannai Y. and Peleg B. A note on the extension of an order on a set to the power set // Journal of Economic Theory, 1984. V.32. Отношение предпочтения полно, транзитивно, рефлексивно.

83

6.2 Оценка проектов и ставка дисконта при критерии оптимизмапессимизма

В п. 6.1 мы показали, что при определенных предположениях инвестор

может использовать для оптимизации своего поведения критерий опти-

мизма-пессимизма. Ниже мы выясняем, как при этом должен формиро-

ваться оптимальный инвестиционный портфель, какая базовая ставка дис-

конта ему отвечает, и можно ли пользоваться ею при оценке эффективно-

сти малых инвестиционных проектов.

Итак, инвестор намеревается вложить свои средства в некоторый пакет

ФТ. Брутто-доходности ξi различных “ рискованных” ФТ — неопределен-

ные величины, но на этот раз о них имеется только информация об их воз-

можных значениях. В общем случае доходности разных ФТ зависимы. Это значит, например, что если 1-й ФТ может иметь брутто-доходность 0,8, а 2-й — 1,3, то одновременно такое сочетание может оказаться невозможным

(скажем потому, что, по мнению инвестора или по фактическим данным,

доходность этих ФТ растет или падет одновременно). В такой ситуации исходной информацией для оптимизации будет множество Q возможных сочетаний доходностей разных ФТ, т.е. векторов ξ = (ξ1, ξ2,...). Если среди рассматриваемых ФТ имеется депозит/кредит, то соответствующая компо-

нента этих векторов будет детерминированной.

Если инвестор, располагающий капиталом K, вкладывает его на шаге 0 в

пакет, имеющий структуру x, брутто-доходность таких вложений составит

неопределенную величину ζ = x∙ξ, где ∙ — знак скалярного произведения.

При этом наращенный капитал инвестора на шаге 1 составит F=Kx∙ξ. Если инвестор руководствуется критерием оптимизма-пессимизма (6.1), то ожи-

зом, инвестору необходимо выбрать такую структуру оптимального паке-

84

та, т.е. такой вектор x, для которого указанная ожидаемая полезность будет максимальной. Разумеется, при этом должны выполняться условия: сумма компонент вектора x должна быть равна 1, а сами эти компоненты, кроме той, которая отвечает депозиту/кредиту, должны быть неотрицательны.

Решение этой задачи можно немного упростить, учитывая, что при за-

мене множества Q (а оно может быть произвольным) своим выпуклым за-

ству Q можно добавить все не принадлежащие ему граничные точки, а за-

тем из всех точек Q оставить только крайние (не лежащие на отрезке, со-

единяющем две граничные точки). При этом знаки sup и inf можно будет заменить соответственно на max и min.

В результате решения рассматриваемой задачи можно определить:

ного пакета;

∙ отвечающие указанным параметрам экстремальные значения наращенного капитала F+ = Kζ+ и F — = Kζ-, и ожидаемый капитал

U = H(F + , F − ).

Это позволяет, как и раньше, найти оценки капитала на шагах 0 и 1, и

вытекающую из этих оценок базовую ставку дисконта.

Действительно, если увеличить на малую единицу капитал на шаге 1,

т.е. наращенный, то на столько же увеличатся и экстремальные размеры

ответственно по первому и второму аргументам.

Если же увеличить на малую единицу начальный капитал, то макси-

мальный и минимальный наращенный капитал вырастут соответственно на

85

ζ + и ζ − . За счет этого ожидаемая полезность наращенного капитала изме-

иминимальной нетто-доходности оптимального пакета.

Вотличие от CAPM, оптимальная политика здесь может и не преду-

сматривать вложения на депозит или получение кредита под ту же ставку.

Однако, если она всё-таки их предусматривает, то базовая ставка дисконта будет совпадать со ставкой депозита/кредита a0- 1, как это имело место в

CAPM. Действительно, в таком случае вложения дополнительного рубля на шаге 0 в любой ФТ из оптимального пакета дают один и тот же прирост ожидаемого капитала. Поэтому этот прирост можно найти, предположив,

что дополнительный рубль либо депонируется, либо уменьшает потреб-

ность в кредите. Но в обоих случаях при этом капитал инвестора на шаге 1

увеличивается на a0 рублей, так что (с точки зрения влияния на ожидае-

мую полезность) 1 рубль на шаге 0 эквивалентен a0 рублям на шаге 125.

Выясним теперь, можно ли использовать ставку (6.2) для дисконтирова-

ния неопределенных денежных потоков. Допустим, что инвестору предло-

жен инвестиционный проект, требующий затрат ϕ0 на шаге 0 и дающий на шаге 1 неопределенный доход ϕ1, не зависящий от ситуации на финансо-

вом рынке (т.е. любое из возможных значений ϕ1 может иметь место при любых возможных сочетаниях доходностей ФТ). Пусть ϕ1+ и ϕ1− — макси-

25 Приведенное рассуждение не вполне корректно, поскольку критерий оптимальности, зависящий от экстремальных значений доходности, не является гладкой (дифференцируемой) функцией от x. Экспериментальные расчеты показывают, что из-за этого ставка дисконта иногда может немного отличаться от ставки депозита.

86

мально- и минимально возможный доход от проекта. Тогда отвечающие им максимальные и минимальные значения наращенного капитала соста-

Ожидаемая полезность наращенного капитала при этом станет равной

Теперь нетрудно найти тот детерминированный доход DEI, получение которого инвестором на шаге 0 изменит ожидаемую полезность на ту же самую величину:

Легко видеть, что в формуле (6.3) “ детерминированный эквивалент” не-

определенного дохода на шаге 1 рассчитывается по формуле Гурвица (с

коэффициентом оптимизма-пессимизма λ) и дисконтируется к шагу 0 по ставке (6.2). Таким образом, базовая ставка дисконта действительно может использоваться для оценки проектов, если при этом заменять неопреде-

ленные доходы ϕ их “ детерминированными эквивалентами” ϕож, исчис-

ленными по формуле Гурвица:

ϕож = λϕmax+ (1 - λ)ϕmin .

Приведенные формулы существенно упрощаются для степенной функ-

ции ожидаемой полезности H(M, m) = Mαm1-α. В этом случае:

поэтому в силу (6.4) и (6.2) имеем:

87

Таким образом, E и λ здесь определяются через максимально- и мини-

мально возможные доходности оптимального пакета и не зависят от раз-

мера начального капитала.

Пример 1. Имеются 4 вида ФТ, в которые инвестор может вкладывать средства. 0-й ФТ является депозитом, возможность получения кредита от-

сутствует. При оптимизации своей политики инвестор руководствуется функцией полезности H(M, m) = M0,35m0,65. В следующей таблице приве-

дены 6 возможных сочетаний нетто-доходностей (в процентах) ξi указан-

ных ФТ — можно считать, что эти сочетания инвестор определил, наблю-

дая фактические сочетания доходностей разных ФТ в разные моменты времени, аналогично тому, как он определял бы бета-коэффициенты для различных ФТ.

Оптимальный портфель при этом не предусматривает вложений на де-

позит, а доли вложений в другие ФТ составляют соответственно 25,04%, 6,00% и 68,96%. Минимальная нетто-доходность такого портфеля составит

-3,04%, максимальная — 22,62%, а ожидаемая — 5,27%. Теперь, используя

(6.5), найдем коэффициент оптимизма-пессимизма Л. Гурвица и базовую

ставку дисконта: λ=0,299, E=4,62%.

88

Будем считать начальный капитал инвестора достаточно большим. Рас-

смотрим малый проект, требующий затрат 26 на шаге 0, доход которого ϕ на шаге 1 может составлять -10, +40 или +110, независимо от ситуации на финансовом рынке. Детерминированный эквивалент этого дохода по фор-

муле Гурвица составит:

ϕож = 0,299×110 + 0,701×(-10) = 25,88.

Поэтому DEI проекта будет равен -26 + 25,88/1,0462 = -1,3. Такой проект инвестор должен признать неэффективным.

При более высокой ставке депозита 5,2% решение изменится. Теперь доли вложений в депозит и ФТ составят соответственно 45,62%, 13,62%, 3,26% и 37,50%. Экстремальные доходности такого портфеля будут равны

0,72% и 14,67%, а его ожидаемая доходность — 5,40%. При этом будет

λ=0,321, E=5,20%. Детерминированный эквивалент дохода проекта на ша-

ге 1 станет равным ϕож = 0,321×110 + 0,679×(-10) = 28,52, так что DEI = - 26 + 28,52/1,052 = +1,1. Поэтому данный проект теперь должен считаться эффективным. €

Следующие примеры демонстрируют некритическое использование ми-

нимаксного критерия и обусловленные этим “ парадоксы”.

Пример 2. Имеются четыре возможных состояния природы. В ситуации

“ без проекта” капитал инвестора при этих состояниях составляет соответ-

ственно 43, 64, 88, 99. При этом его ожидаемый капитал равен H(99, 43).

Рассматривается малый проект, дающий при состояниях природы 1-4 ин-

вестору дополнительные доходы f1, f2, f3, f4. Поскольку проект — малый,

то ожидаемый капитал инвестора “ с проектом” составит H(99+f4, 43+f1).

Таким образом, малый проект должен оцениваться по значениям его дохо-

да в состояниях 1 и 4, а не по значениям минимального и максимального дохода, как требует формула Гурвица. €

Пример 3. Немного изменим условия примера 2. Пусть капитал инве-

89