ЛЕКЦИИ 2 Версия 3

Обратим внимание, что слева здесь стоит производная целевой функции по K, поэтому величина p0 = ∂U ∂K отражает ценность денег для инве-

стора на шаге 0. Вычитая (5.5) из (5.7), найдем:

Нетрудно убедиться, что в частном случае равенства ставок депозита и кредита и квадратичной функции полезности эти соотношения приводят к тем же условиям дополняющей нежесткости (4.8), которые имели место в бета-модели. Однако в других случаях положение иное: здесь оптималь-

ный портфель совсем не обязан быть комбинацией рыночного портфеля и безрисковых вложений. Экспериментальные расчеты показали также, что в него могут не войти акции, чья доходность выше рассчитанной по бета-

модели, но могут войти те, чья доходность меньше, чем требует бета-

модель.

Получить из построенной модели ставку дисконта можно, применив следующий прием. Как отмечено выше, величина p0 = ∂U ∂K отражает ценность денег для инвестора на шаге 0 — изменение целевой функции при увеличении начального капитала на малую единицу. Ценность денег для инвестора на шаге 1, обозначим её через p1, будет иной. Она отразит изменение критерия при изменении (случайного) наращенного капитала инвестора V = V(w) на детерминированную малую единицу. Поэтому

Теперь, используя оптимизационную трактовку ставки дисконта опреде-

лим эту ставку как темп падения ценности денег во времени:

60

Такая ставка применима для дисконтирования детерминированных де-

нежных потоков. Действительно, рассмотрим инвестора, вкладывающего сумму ϕ0 в малый проект, дающий на шаге 1 доход ϕ1, а остальной капи-

тал K - ϕ0 — в оптимальный пакет ФТ. Вложения ϕ0 в проект приведут при этом к уменьшению ожидаемой полезности на p0ϕ0, а получение до-

хода ϕ1 на шаге 1 увеличивает её на p1ϕ1. Всего ожидаемая полезность изменится на -p0ϕ0+ p1ϕ1, что эквивалентно получению суммы

-ϕ0+ ϕ1/(1 + E) в начале проекта.

Однако для “ рискованных” денежных потоков ситуация усложняется.

Так, если доход ϕ1 от проекта случайный, его получение изменит ожи-

даемую полезность на M[u′(V)ϕ1], а реализация проекта будет эквивалента

DEI или ожидаемый DEI проекта (в оптимизационной трактовке этого по-

нятия), а входящую в нее величину E[ϕ1] — как детерминированный эк-

вивалент неопределенного дохода. Значение E[ϕ1] зависит как от харак-

тера неопределенности проекта, так и от функции полезности. В зависимо-

сти от того, как скоррелирован доход проекта с наращенным капиталом инвестора (зависящим, прежде всего, от доходности оптимального пакета),

21Из формулы (5.9) следует, если инвестор нейтрален к риску, функция полезности линейна, то его ставка дисконта будет равна ожидаемой доходности самой рискованной ценной бумаги. Именно по этой ставке инвестор будет определять эффект от своего участия в проектах, в том числе и безрисковом. При традиционном изложении такой проект дисконтируется любым инвестором по безрисковой ставке. Просто некоторые авторы «забыли», что первичный критерий инвестора – максимизация инвестиционной стоимости, а не рыночной, см. замечание в конце 1-ой части пособия.

61

оно может быть как меньше, так и больше математического ожидания до-

хода. Мы видим, таким образом, что для оценки проектов со случайными результатами необходимо дисконтировать по ставке (5.9) не средние зна-

чения доходов, а их детерминированные эквиваленты. Обратим внимание,

что детерминированный эквивалент неопределенного чистого приток ϕ1

является некоторым средним арифметическим взвешенным из возможных значений чистого притока. Это наводит на мысль, что его можно практиче-

ски определить, применив некоторый (понижающий или повышающий)

коэффициент к “ обычному” среднему M[ϕ1]. На этом основан метод учета риска путем введения понижающих коэффициентов к чистым притокам проекта. Однако подобная идея порочна. Дело в том, что такой коэффици-

ент должен применяться к математическому ожиданию чистого притока,

найти которое ничуть не легче, чем сам детерминированный эквивалент.

Тогда, скажете вы, коэффициенты надо применять к “ проектным” значе-

ниям чистого притока. Увы, такие коэффициенты будут зависеть от того,

как именно определены эти “ проектные” значения. Например, если в рас-

чет чистых притоков уже заложены какие-то резервы и запасы, то соответ-

ствующие их значения даже теоретически нельзя считать близкими к ма-

тематическим ожиданиям, а коэффициент к ним должен зависеть от разме-

ра запасов (при больших запасах соответствующий коэффициент должен стать повышающим, а не понижающим).

Значение ставки E зависит не только от (случайных) параметров рыноч-

ной конъюнктуры, но и от функции полезности инвестора и, возможно, от его начального капитала. Поэтому было бы неправильно назвать её “ ры-

ночной”. Казалось бы, раз она применима для дисконтирования детерми-

нированных денежных потоков, её можно назвать “ безрисковой”. Однако это название вводит в заблуждение, ибо на рынке может вообще не быть безрисковых ФТ. По этой причине мы предлагаем для данной ставки более

62

“ нейтральное” название — базовая ставка дисконта (для разных инве-

сторов эти ставки могут различаться). Выясним некоторые её свойства.

1.Предположим, что на финансовом рынке существуют безрисковые ФТ

—депозиты. Будем считать, что эти ФТ имеют номер 1. Предположим да-

лее, что вложения в них вошли в оптимальный пакет. Тогда, поскольку до-

ходность депозита ξ1 — детерминированная, из (5.6) вытекает, что

ξ1M[u′(V)] = p0. Подставляя это в (5.9), получаем: E = ξ1- 1 = δ1, иными

словами, в этом случае ставка дисконта совпадает с нетто-доходностью депозита. Тот же вывод мы, по существу, получили выше и из бета-

модели.

Заметим, кстати, что если бы депозиты существовали и их ставка была выше кредитной, инвестору было бы выгодно взять в кредит возможно большую сумму и вложить её на депозит, а решением оптимизационной задачи было бы D = +∞. Поэтому практический интерес представляют только случаи, когда кредитная ставка не меньше депозитной.

2. Предположим далее, что депозиты существуют, но оптимальный портфель не предусматривает вложений в них. Тогда из (5.6) при i=1 выте-

кает, что p0> ξ1M[u′(V)], откуда и из (5.9) следует, что E > δ1. Поэтому здесь ставка дисконта будет не меньше депозитной ставки.

3. Предположим теперь, что оптимальная политика инвестора преду-

сматривает привлечение кредита (в положительном объеме). Тогда (5.8)

дает: p0= ρM[u′(V)]. Подставляя это в (5.9), найдем: E = ρ - 1. Иными сло-

вами, в этом случае ставки дисконта и кредита совпадают. Поэтому ситуа-

ция, когда инвестор одновременно и берет кредит и вкладывает средства на депозит, возможна только в случае равенства процентных ставок, но в этом случае она не дает никакой выгоды по сравнению с использованием только кредита или только депозита (как это, собственно и было в CAPM).

63

4. Предположим теперь, что оптимальный портфель инвестора не преду-

сматривает получения кредита. Тогда в (5.8) будет иметь место неравенст-

во, и из (5.9) получится, что ставка дисконта будет не больше кредитной:

E < ρ - 1.

Введем понятие « детерминированная доходность». Ее величина μ будет корнем уравнения:

u(μK ) = M [u(ξ K )].

Заметим теперь, что функция u выпукла вверх и, стало быть, ограничена сверху касательной к своему графику. Поэтому

0 = M{u (ξ K ) − u ( μK )} ≤ M{(ξ − μ ) Ku′( μ K )} = (a − μ ) Ku′( μ K ) ,

причем равенство возможно только при ξ = μ, т.е. для “ безрисковых”

вложений. Поскольку u′(x) > 0, из полученного неравенства следует, что

μ < a, т.е. детерминированная доходность вложений не больше средней,

причем равенство возможно только в детерминированном случае. Это оз-

начает, что вложения в оптимальный пакет дают ту же полезность нара-

щенного капитала, что и вложения с детерминированной доходностью μ.

Иными словами, величина μ определяется из уравнения:

Докажем, что базовая ставка дисконта не больше детерминирован-

ной нетто-доходности оптимального пакета (μ-1) и совпадает с ней

только, когда оптимальный пакет — безрисковый.

Для доказательства заметим, что в силу (5.10) и выпуклости функции u

имеем:

0= u[(K + D)μ − Dρ]− M{u[ (K + D)ξ x − Dρ]} =

=M{u[(K + D)μ − Dρ]− u[(K + D)ξ x − Dρ]}≤ M{(μ − ξ x )u′[ (K + D)ξ x − Dρ]},

64

причем равенство здесь возможно только, когда доходность xx — де-

M{ξ xu′[(K + D)ξ x − Dρ]}≤ μM{u′[(K + D)ξ x − Dρ]} .

Но M{ξ xu′[(K + D)ξ x − Dρ]}= (1 + E )M{u′[(K + D)ξ x − Dρ]} в силу (5.9),

поэтому (1 + E )M{u¢[(K + D)xx - Dr]}£ mM{u¢[(K + D)xx - Dr]} , отку-

да 1 + E < m. €

Как было доказано, детерминированная доходность не больше средней.

Отсюда и из доказанного выше вытекает, что базовая ставка дисконта не

больше средней нетто-доходности оптимального пакета и равна ей только тогда, когда оптимальный пакет дает детерминированную доход-

ность.

Рассмотрим теперь более подробно, какой вид принимают полученные формулы, если инвестор имеет степенную функцию полезности: u(V) = Vq,

где q — склонность инвестора к риску. Обозначив через z отношение сум-

мы кредита к начальному капиталу, сведем задачу (5.1)-(5.3) к более про-

стой эквивалентной:

i

Размер начального капитала при этом не влияет на решение задачи, т.е.

на структуру оптимального пакета ФТ и структуру капитала (соотношение собственных и заемных средств). Оценки 1 рубля капитала на шагах 0 и 1

здесь будут иметь следующий вид:

p0 = qM[xx {(1 + z)xx - zr}q −1] , p1 = qM[{(1 + z)xx - zr}q −1 ] .

Отсюда получаем выражение для базовой ставки дисконта:

65

В частности, если кредит не используется, то:

Mξq −1x

Ставки (5.12) и (5.13) также не зависят от начального капитала инвесто-

ра. При q = 1 обе формулы дают: E = M[ξx] - 1, т.е. базовая ставка дисконта здесь совпадает со средней нетто-доходностью оптимального пакета ФТ.

При q < 1 (что отвечает осторожным инвесторам) положение иное: опти-

мальный пакет (если только он не безрисковый) не дает максимально возможной ставки дисконта, а базовая ставка дисконта, как показано выше,

меньше как детерминированной, так и средней нетто-доходности оптимального пакета:

При небольшой дисперсии ставку дисконта (5.13) можно оценить по

приближенным формулам, связывающим её со средней (ax) :

где Vx — вариация (отношение среднеквадратичного отклонения к ма-

тематическому ожиданию) брутто-доходности оптимального пакета.

Мы видим, что уменьшение ставки дисконта против средней нетто-

доходности оптимального пакета зависит от склонности инвестора к риску и волатильности его оптимального пакета. Таким образом, базовая ставка дисконта (а именно она должна приниматься при расчетах DEI малых ин-

вестиционных проектов) может не совпадать ни с безрисковой (депозит-

ной), ни со средней или ожидаемой доходностью оптимального пакета ин-

66

вестора. Более того, оптимальный пакет в этом случае не обязан быть ком-

бинацией из рыночного пакета и безрискового (т.е. теорема разделения здесь не выполняется). Полученный результат не только ставит под сомне-

ние бета-модель, но и существенно противоречит рекомендациям об ис-

пользовании безрисковых ставок. Приведем условный пример.

Пример 5.1. Все направления инвестирования состоят в покупке либо рыночного пакета акций, либо акций фирм X и Y (кредиты не используют-

ся). На каждом шаге на фондовом рынке может возникнуть одна из 6 воз-

можных ситуаций. Вероятности этих ситуаций даны во второй графе таб-

лицы.

Доходности рыночного пакета акций и акций фирм X и Y (неизменные по шагам расчета) указаны в следующих трех графах. В их последних строках указаны соответствующие средние доходности и значения β. До-

ходность безрисковых вложений равна 10%. Осторожный инвестор,

имеющий склонность к риску q = 0,4, выбирает оптимальный вариант вло-

67

жений и отвечающую ему ставку дисконта. Рассчитаем по CAPM требуе-

мые доходности вложений в акции фирм X и Y:

aX = 10 + 0,603×(16-10) = 13,62%; и aY = 10+1,331×(16-10) = 17,98%.

Поскольку у акций фирмы X средняя доходность больше требуемой, а у акций фирмы Y — меньше, то согласно CAPM, первые акции следует при-

обретать, а вторые — нет. Между тем, оба эти утверждения ошибочны.

Оптимальным будет вложение 58,5% средств в рыночный пакет и 41,5% —

в акции фирмы Y (безрисковые вложения нецелесообразны). Легко про-

веряется, что при этом достигается средняя доходность 16,16%, однако ставка дисконта будет совсем иная — 15,2%. Более склонному к риску ин-

вестору, имеющему q = 0,7, все средства надо вложить в акции фирмы Y, и

его ставка дисконта будет выше — 15,6%.

Пусть теперь средняя доходность акции меняется, а случайные отклоне-

ния доходности от средней остаются прежними. Оказывается, в этом слу-

чае вложения в акции будут привлекательны для разных субъектов при разных значениях средней доходности. Так, для инвестора с q = 0,4

акции фирмы X войдут в оптимальный пакет, если их средняя доходность составит от 15,69% до 16,05%, а при более высокой доходности инвестор должен будет приобрести только эти акции, отказавшись от вложений в рыночный пакет. Аналогично, он будет покупать акции фирмы Y при сред-

ней их доходности от 16,2% до 16,7%, а при более высокой доходности бу-

дет покупать только их. Каковы будут равновесные доходности этих ак-

ций, зависит от того, как распределены участники рынка по их склонности к риску (q).

Отметим также, что входящие в (5.12) математические ожидания берут-

ся по субъективной вероятностной (или конечно-аддитивной нормирован-

ной) мере. Если разные субъекты по-разному оценивают “ степень возмож-

ности” различных ситуаций, которые могут сложиться на финансовом рынке в будущем, они будут использовать разные меры и, соответственно,

68

разные ставки дисконта. Это можно рассматривать как некоторое под-

тверждение общего тезиса [10] о субъективном характере ставок дисконта.

Между тем, указанный тезис нередко оспаривается следующим образом:

если ставка дисконта для данного субъекта существенно отличается от ставок, используемых другими субъектами, он вынужден будет отказы-

ваться от проектов, которые принимают другие или принимать проекты, от которых все остальные субъекты отказываются, и в результате его финан-

совое положение ухудшится. На самом деле этот аргумент неубедителен.

Финансовое положение субъекта ухудшится не тогда, когда он будет по-

ступать не так, как все остальные, а тогда, когда ухудшится конъюнктура финансового рынка. Если субъект придал более высокую субъективную вероятность соответствующим сценариям, его ставка дисконта стала меньше и он мог согласиться на менее эффективные проекты, отвергнутые другими инвесторами (скорее всего, такие проекты будут и менее риско-

ванными, т.е. будут давать меньшие убытки при “ плохих” сценариях, но и меньшие доходы при “ хороших”). Однако именно в случаях ухудшения рыночной конъюнктуры такое поведение представляется оправданным.

Наоборот, если вероятность “ хорошей” рыночной конъюнктуры субъект оценил слишком высоко, его ставка дисконта увеличилась и он будет отка-

зываться от менее рискованных проектов, приемлемых для других инве-

сторов. Такое поведение будет оправданным только в условиях “ хорошей” рыночной конъюнктуры. Поэтому успешность финансовой политики субъ-

екта в длительной перспективе будут зависеть только от того, правильно ли он оценивает “ степень возможности” тех или иных ситуаций на финан-

совом рынке, а не от того, согласованы ли его оценки с оценками других инвесторов.

5.2. Оценка эффективности многошаговых проектов

Многие полученные выше результаты остаются справедливыми и в

“ многошаговой” ситуации, когда инвестор, имеющий начальный капитал

69