ЛЕКЦИИ 2 Версия 3

версифицируемым) риском. Величину βi называют бетой (бета-

коэффициентом) i-х ФА или их относительным систематическим рис-

ком, т.е.систематический риск i-го актива, приходящийся на единицу риска рыночного портфеля; разность (am - a0) — премия за риск в рыночном портфеле или риском инвестирования (для США в 2005 г. — примерно

4,8%), а произведение βi(am - a0) — премией за рыночный риск владель-

цу i-го ФА.

У самого рыночного пакета бета равна 1 в силу (4.14). В практических расчетах обычно используют “ исторические” значения бет, но текущие (на момент расчета) значения среднерыночной и безрисковой доходностей.

Тем самым, по существу, принимается, что значения бет более стабильны,

чем доходности депозитов и рыночного пакета. Для ценных бумаг, коти-

рующихся на биржах, “ исторические” беты обычно рассчитываются с ис-

пользованием фактических данных за тот или иной предыдущий период и публикуются. Расчеты проводятся по формуле (3.14), в которой математи-

ческие ожидания, дисперсии и ковариации определяются статистическими методами по ретроспективным данным. Тем самым, по существу, навязы-

вается представление, что значения β более стабильны, чем доходности депозитов и рыночного пакета.

Примечание. При изложении САРМ Л. Крушвиц в [6] в качестве ар-

гумента функции полезности задает потребительское благо, т.е. ставит за-

дачу с точки зрения домохозяйства-акционера. Для нас важно было рас-

смотреть эту задачу с позиции предприятия. Ведь только предприятие может осуществлять реальные инвестиции. Подобная трактовка САРМ в дальнейшем послужит исходным пунктом для обоснования критерия оп-

тимальности NPV реальных инвестиционных проектов. Это позволяет рассматривать проекты на локальном уровне, изолированно, без состав-

ления полного финансового плана всего предприятия и таким образом,

обеспечить децентрализацию принятия решений. Обратим также внима-

30

ние, что никакой общей меры риска ФА в постановке (4.4)-( 4.6) нет, а в процессе анализа САРМ появляется категория “ систематический риск” и

его мера.

Далее мы будем использовать эти термины, поскольку они общеприня-

тые в финансовых инвестициях, но одновременно хотим предупредить, что они отражают иное понимание риска чем в реальных инвестициях. На-

пример, “ систематический риск” не является каким-то частным случаем риска в нашем понимании. Иными словами, наличие систематического риска не означает само по себе каких-то потерь или ущербов для собствен-

ника соответствующего актива. Оно говорит лишь о том, в какой мере по-

ведение доходности актива можно предсказать, наблюдая за доходностью рыночного пакета. Точно так же, “ рыночный риск” не означает каких-либо совокупных потерь всех участников рынка (такие потери, если они и есть,

характеризуются, скорее, вероятностью того, что нетто-доходность рыноч-

ного пакета окажется отрицательной).

Информация о курсовой стоимости и доходности практически имеется лишь для ограниченного числа представительных ценных бумаг (напри-

мер, “ голубых фишек”). Поэтому рассчитанная указанным способом до-

ходность “ рыночного пакета” не учитывает таких ФА, как векселя, акции закрытых акционерных обществ, иностранная валюта, сдаваемая в аренду недвижимость и др.

Из формулы (4.15) следует, что если расположить на плоскости точки с координатами (βi, ai), то они расположатся на некоторой прямой, именуе-

мой линией рынка ценных бумаг (security market line), SML. Эта ли-

ния, кстати, проходит через точку (0, a0), отвечающей депозиту/кредиту,

поскольку этот ФА имеет нулевую бету. Обычно бета-модель записывают,

используя показатели не брутто-, а нетто-доходности, которые к тому же выражают в процентах, а не долях единицы:

31

Теперь можно выяснить и структуру оптимального пакета. Действительно,

из соотношений w = mλ и x = hw получаем, что решением системы (4.8) яв-

ляется вектор x = λhm, т.е. xi = λhmi для i > 0. Значение x0 получим из (4.9): x0 = 1 - λh.

Полученные результаты обычно объясняют так. Если все инвесторы имеют полную информацию о текущей и прошлой рыночной конъюнктуре и одинаково оценивают вероятностное распределение предстоящих изме-

нений рынка, то должно выполняться равенство (4.16). Если же для каких-

то ценных бумаг здесь имеет место знак “>”, то они становятся привлека-

тельными сразу для всех инвесторов и спрос на них превышает предложе-

ние. В результате цена этих бумаг растет, а доходность снижается до тех пор, пока равенство не восстановится. Наоборот, если для каких-то ФА в

(4.16) имеет место знак “<”, приобретать их становится не выгодно и инве-

сторы начинают продавать их. Предложение ФА при этом превышает спрос, цена ФА снижается, а их доходность растет до тех пор, пока равен-

ство не восстановится.

Проводилось много экспериментальных проверок CAPM. В ряде работ эта модель подтверждалась, в других — опровергалась. Методики таких проверок проанализировал Р. Ролл, пришедший к оригинальному выво-

ду: “ CAPM может быть верной, несмотря на то, что результаты проверок предполагают что-либо иное. Но и, наоборот, возможно, что CAPM мож-

но опровергнуть, несмотря на то, что результаты проверки свидетельст-

вуют о ее правильности.” Примечание. Существует другой подход к нахождению коэффициен-

тов бета. Это так называемая индексная (рыночная) модель, в которой используется линейная регрессия. RM – рыночный индекс, Ri – доход-

ность i-го актива, αi , βi - некоторые параметры, εi - случайная величина.

Предполагается, что имеет место соотношение:

32

Ri = αi + βi RM + εi , где M(εi ) = 0, Cov(εi , RM ) = 0 , Cov(εi ,ε j ) =0. (эта модель не имеет никакого отношения к CAPM, где требуется нали-

чие равновесия, в индексной - нет; в индексной модели доходности зависят только от RM. Имеем - Cov(Ri,Rj)=0, т.к. Cov(εi ,ε j ) =0, Cov(εi , RM ) = 0 ,

в CAPM этого не требуется; конечно, рыночный портфель является ин-

дексом, обратное – неверно). Но индексная (рыночная) модель исполь-

зуется для нахождения исторических бета, которые экстраполируются на будущее, что, строго говоря, неправомерно. Например, используются в

SML, (4.16).

4.3. CAPM и оценка эффективности инвестиционных проектов

Мы вынуждены признать коренную перемену всей точки зрения нашей на социализм.

В.И.. Ленин “ О кооперации”

Обычно применимость CAPM к оценке эффективности инвестиционных проектов обосновывают так. Возьмем некоторый ФА стоимостью I в на-

чале шага и дающий неопределенный доход F в конце шага. Чтобы его приобретение было привлекательно, необходимо, чтобы для этого проекта

математических ожиданий (средних значений) чистого дохода при ставке дисконта (4.16), включающей “ премию за риск”. На этом основании во многих источниках такой способ рекомендуется применять и для оценки эффективности любых реальных проектов.

Более того, примитивно трактуя сам термин “ премия за риск”, ряд авто-

ров рекомендует включать в нее добавки на самые разнообразные виды

33

возникающих при реализации проекта рисков. Между тем, как было отмечено выше, ставка (4.16) отражает лишь систематический риск — кова-

риацию доходностей проекта и рыночного портфеля, тогда как “ внутрен-

ние”, несистематические риски проекта, вроде отказов оборудования или задержек строительства, в ней отражаться не должны.

На самом деле применять ставку (4.16) для дисконтирования денежных потоков реальных инвестиционных проектов (даже одношаговых) непра-

вомерно. Дело в том, что такой проект, как уже неоднократно отмечалось выше, — это не ФА, он не тиражируем и не обращается на рынке, и пото-

му CAPM к нему не применима. Корректный подход к оценке реальных инвестиционных проектов с помощью CAPM, по существу, изложен в [5].

Суть этого подхода в следующем.

Обоснование критерия NPV для безрискового проекта

(вложения в финансовые активы – рискованные).

Рассмотрим задачу формирования оптимального портфеля Маркови-

активы можно только покупать, вес безрискового актива может иметь лю-

бой знак (можно покупать и брать взаймы по безрисковой ставке).

ность наращенного капитала, полученного в результате финансовых инве-

34

Таккера максимум функции Лагранжа на множестве x0 R и x ³ 0

i

при i>0 является необходимым и достаточным условием глобального мак-

где Р0 – ценность одного «малого» рубля в начальный момент – на сколь-

ко увеличится критерий оптимальности при увеличении первоначального капитала на одну «малую» единицу.

35

Выражение в квадратных скобках NPV детерминированного проек-

та. Итак, если проект мал, то его можно оценить на локальном уровне,

выбрать лучший по критерию NPV, не определяя ожидаемую полезность от всего наращенного капитала, который получен не только от данного проекта.

Обоснование критерия NPV для рискового проекта

Перейдем теперь к рассмотрению рискованного проекта. Дан малый

проект, дающий в начале и конце шага чистые доходы соответственно ϕ0 и

ϕ1 (тем самым, расходы в начале шага составят -ϕ0). Располагая капита-

лом K и решив реализовать такой проект, оставшиеся средства K + ϕ0 ин-

вестор должен вложить в новый оптимальный пакет ФА. Выясним, как это

36

скажется на значении его целевой функции. Поскольку проект мал (малы

ϕ0 и ϕ1), структура оптимального пакета x останется прежней. При этом

ет (с точностью до малых более высокого порядка) рассчитать математи-

ческое ожидание и дисперсию дохода инвестора δ:

M[δ] = KM[ξ] + ϕ0M[ξ] + M[ϕ1] ;

D[δ] = K 2D[ξ] + 2Kϕ0D[ξ] + 2Kcov(ξ,ϕ1 ).

При этом изменение целевой функции инвестора, ожидаемой полезно-

сти, за счет реализации проекта составит:

Используя те же обозначения для производных, что и в формуле (4.6а),

это выражение можно записать немного короче:

i > 0, x0 = 1 - λh, а Bha0= ϑ. Это означает, что оптимальная структура вло-

жений в рискованные ФА описывается вектором λhm. Соответственно до-

ходность этих вложений будет выражаться случайным вектором λhξm. От-

сюда, учитывая, что h=A/B, получаем:

37

Нетрудно показать, что К-1Аa0 – это частная производная ожидаемой

полезности по К в ситуации « без проекта» при оптимальной структуре

портфеля, т, е. ценность дополнительной единицы капитала10. Отсюда

сразу же следует, что реализация проекта изменяет целевую функцию так же, как и получение в начале шага суммы

Это позволяет трактовать W как сумму, эквивалентную получению всех чистых доходов проекта, т.е. как обобщение показателей ЧДД и ОЧДД (см.

п. 3.2) на случай вероятностной неопределенности. Величина

M[ϕ1 ] − λcov(ξm ,ϕ1 ) , стоящая в числителе формулы (4.17), называется де-

терминированным или надежным эквивалентом (certainty equivalent)

соответствующего чистого дохода. Мы будем обозначать ее символом Е.

Таким образом, для корректной оценки эффективности проекта в данном

случае необходимо вначале заменить случайный доход в конце шага —

его детерминированным эквивалентом, после чего дисконтировать этот де-

терминированный эквивалент по безрисковой ставке дисконта. К сожалению, наш вывод точен только для квадратичной функции полезности, т.

к. величина δ, чистый доход инвестора, уже не является величиной с

нормальным распределением (все «испортил» денежный поток реального

проекта).11

Формула (4.17) называется “ ценовым представлением” CAPM. Приме-

ним ее к оценке эффективности проекта, рассмотренного в начале подраз-

дела (вложение суммы I в ФА, дающий случайный доход F в конце шага).

10в тривиальном случае - величина 1+i, где i ставка по депозиту.

11При переходе к более общей конструкции нормальность распределения нам не понадобится.

38

гой стороны, если, как это часто рекомендуют, дисконтировать средний доход по ставке (4.16), мы придем к другой формуле:

Основную причину расхождения в формулах мы уже объяснили: ЧДД ре-

ального проекта может быть любым, однако ЧДД вложений в каждый фи-

нансовый активы всегда должен быть нулевым, поскольку такие проекты тиражируемы, а на финансовом рынке спрос уравновешен предложением

(это легко, чисто формально, выводится из 4.17 с использованием β- фор-

мулы 4.15).

Но тогда остается второй вопрос: если для рассматриваемого проекта ЧДД=0, то получим ли мы тот же результат из первой формулы. Действи-

тельно, равенство ЧДД=0 означает, что M(F ) I −1 = r0 + β(rm − r0 ) или, что то же самое, что M(F ) I = a0 + β(am − a0 ). Вспомним теперь, что коэффициент β определяется исходя из ковариации доходностей данного актива и рыноч-

ного пакета. Поскольку (случайная) доходность данных вложений равна

с учетом (4.13) получаем:

M ( F ) = a0I + am − a0 cov( F ,ξm ) = a0I + λcov( F ,ξm ) ,

Dm

откуда и следует искомое равенство.

Многие авторы предлагают определять эффекты проекта при заданных сценариях и затем усреднять их по вероятностям. Но тогда мы не получим

(4.17), пропадает взаимодействие денежного потока проекта с рынком: ко-

вариация равна нулю.

39