ЛЕКЦИИ 2 Версия 3

Потребуем дополнительно, чтобы вектор х в условии (1) был положи-

тельным. Это можно сделать следующим образом. В качестве базовых ак-

тивов будем рассматривать так называемые примитивные ценные бумаги,

у которых возвратный поток равен единице только при одном сценарии, т.

е

Денежный поток ценной бумаги можно рассматривать как линейную комбинацию денежных потоков примитивных ценных бумаг. Обозначим цену примитивных активов через вектор π. Мы предполагаем изначально,

что цены базовых активов больше нуля, π > 0. Имеем, Ax = π. В силу (4) x = π (до введения примитивных ценных бумаг из соотношений Ax = p, p > 0

и ранг матрицы А равен числу столбцов (рынок полный) не следует что

х > 0).

Докажем, что тогда из (3) следует (2). Предположим - противное, ар-

битраж отсутствует, тогда выполнено (1), т. е. Ах = p. Умножим обе части

По условию (3) вектор zTA содержит неотрицательные компоненты и хо-

тя бы одну положительную, а вектор x > 0. Тогда (zTA, x) > 0, а (z, p) = 0 -

противоречие.

Правда, в контексте определения (3) можно говорить о своповом порт-

феле – все деньги от продажи вложены в покупку. Путем переформиро-

вания всего портфеля получен дополнительный доход. Еще некоторые ав-

торы (Барбаумов) требуют, чтобы бета нового портфеля совпадала со ста-

рой, то есть систематический риск не увеличивался.

Часто арбитраж определяют как возможность получить гарантирован-

ную прибыль с доходностью выше чем безрисковая. Это определение ну-

ждается в комментарии. Пусть стоимость портфеля в начальный момент

100

Где rf - безрисковая доходность. Например, портфель состоит из одного актива P0 = 100, к концу периода актив стоит 1. Здесь rf = - 0,99. В начале

продаем за 100 и в конце выплачиваем 1, т. е. z = -1.

Выражение (6) примет вид: (-1)·1/(1-0,99) – (-1)·100 = 0 - арбитража нет.

Согласно лемме ФМ – 1·100 = 100, т. е. x =100 > 0, поэтому арбитража нет. Здесь A = a11 =1. Можно доказать, что определения (6) и (2) эквива-

лентны. Если в выражении (6) будет нестрогое неравенство (и хотя бы при

одном сценарии – строгое), то оно будет эквивалентно выражению (3)..

Кстати, достоинство этих определений по отношению к (6) в том, что оп-

ределение отсутствия арбитража (1) операционально, т. е. не вербальное отрицание наличия арбитража – “ арбитража нет, когда не выполнено вы-

ражение (6)”.

Понятие арбитража, точнее, его отсутствие, весьма важно. Когда арбит-

ража нет, то между спотовыми и форвардными ставками выполнено соот-

ношение

(1 + r0,t)t = (1 + r0,1)…(1 + r t-1,t), где r0,t - спотовая ставка (доходность

бескупонной облигации со сроком обращения t), rt-1,t - форвардная ставка.

Причем в отсутствии арбитража в детерминированной ситуации эти ставки будут для разных финансовых активов одни и те же в данный период (это следует из (1)). Именно эту доходность и надо брать в качестве ставки

дисконта.

101

Приложение 2. Расчет ставки дисконта на практике

Пример. Фирма считает наиболее выгодным альтернативным вложением капитала покупку жилой площади в Москве с последующей сдачей ее в аренду (эти инвестиции можно трактовать как разновидность финансовых вложений – бесконечно делимы, есть купля-продажа). В

качестве объекта вложений принимается квартира площадью 135 кв.м с качественным евроремонтом, мебелью, двумя санузлами, на верхних этажах 20-этажного дома монолитно-кирпичной постройки не в центре Москвы. Рыночная стоимость квартиры — 8260 тыс. руб. с НДС или 7000

тыс. руб. без НДС Такая квартира может сдаваться в аренду за плату 150

тыс.руб. в месяц. Казалось бы, доходность этих вложений составляет

150×12/7000=0,257=25,7% годовых. На самом деле такой расчет ошибочен:

после покупки квартиры фирме требуется время на поиск подходящего арендатора. Примем, что этот срок составляет 3 месяца;

∙ из получаемой арендной платы фирме придется перечислять в бюджет НДС (18%). Поэтому доход фирмы составит только 150/1,18=127,1 тыс.

руб. в месяц;

∙ при покупке квартиры фирма уплатит продавцу НДС. Согласно Налоговому Кодексу, этот НДС должен быть возмещен ей в течение 3

месяцев , следующих за месяцем, в котором он был уплачен. Принимается,

что в соответствии с Налоговым Кодексом, этот НДС возмещается фирме через 3 месяца после его уплаты, т.е. в году 1. Уменьшением реальных размеров возмещения НДС за счет инфляции пренебрежем;

∙ квартира будет поставлена на баланс фирмы по цене покупки без НДС

(7000 тыс. руб.);

102

∙ амортизационный срок службы здания — 100 лет. Однако фирма считает, что через 50 лет купленная квартира не будет иметь сколь нибудь значимой рыночной стоимости и не будет давать доходов;

∙с течением времени, по мере насыщения рынка, ставки арендной платы будут (в реальном выражении) снижаться. Примем, что темп снижения составляет 2% в год;

∙существует риск того, что арендатор не сможет уплатить арендную плату. Тогда фирме придется потратить время на поиск нового. Исходя из этого, принимается, что квартира в среднем будет оплачиваться не 12, а 10

месяцев в году (в первом году — не 9, а 8 месяцев);

∙ фирме, как собственнику квартиры, придется ежегодно уплачивать налог на имущество и страховку (соответственно 2,4% и 1,5% остаточной стоимости квартиры). Полученная фирмой арендная плата за вычетом указанных расходов и НДС является ее прибылью от внереализационных операций и потому облагается налогом на прибыль (24%).Чистые денежные притоки (в тысячах дефлированных рублей) по годам эксплуатации квартиры в сокращенном виде приведены в табл.. То обстоятельство, что темпы роста цен на недвижимость (и, следовательно,

индексы переоценки стоимости квартиры, могут отличаться от темпов общей инфляции, для упрощения в расчетах не учитывается. Поскольку денежные потоки были взяты по принципу умеренного пессимизма , то ВНД можно трактовать как базовую ставку дисконта ( см. раздел 5)

типичного участника рынка (функция полезности не учитывалась). Еще раз напомним: эта ставка не есть безрисковая в обычном понимании и в нее не надо включать плату за риск. Разумеется, данный подход – без оптимизационной модели – упрощенный.

103

ВНД полученного потока оказывается равным 8,4%. Таким образом,

если фирма не найдет лучших альтернатив, ставку дисконта она

может принять на уровне 8,4%.

Приложение 3. Формирование денежных потоков

Пример. Определение денежного потока проекта. продолжительность

шага равна 1 году;

∙норма амортизации равна 15%;

∙из налогов учитываются: НДС (18%), ЕСН + страхование от несчаст-

ных случаев (26%+1%=27%), налог на имущество (2,2% от среднегодовой

остаточной стоимости) и налог на прибыль (24%);

∙как и в примере 4.1, не учитываются прирост оборотного капитала и некапитализируемые инвестиционные затраты;

∙инвестиционные притоки состоят из возврата в году 1 НДС за основ-

ные фонды, приобретенные в году 0, и доходов от реализации основных фондов по остаточной стоимости после окончания проекта;

∙ инвестиционные оттоки состоят из капиталовложений; ликвидацион-

104

ные затраты включаются в операционные потоки как внереализационные расходы;

∙ капиталовложения, осуществленные до начала производства, учиты-

ваются с НДС (в год начала производства НДС возвращается). Капитало-

вложения, осуществленные после начала производства, ликвидационные затраты и доходы учитываются без НДС.

Ввод основных средств в эксплуатацию (появление фондов) предполага-

ется в год совершения капитальных затрат. На шаге 4 происходят допол-

нительные строительные работы, из-за чего на это время уменьшается объ-

ем производства. На шаге 7 объем производства вновь уменьшается из-за окончания проекта, в конце шага 7 производятся работы, связанные с пре-

кращением проекта. Соответствующие данные приведены в таблице.

105

106

107

Отсюда получаются данные примера 1.1 из п.1.4

Приложение 4. Метод WACC.

В условиях использования заемных средств ставку дисконта обычно пред-

лагают устанавливать как средневзвешенные издержки применения капитала

(weighted average cost of capital, WACC).

где ge, gdn — доли собственного и n-го вида заемного капитала в общем ка-

питале, re и rdn — посленалоговые издержки применения (cost) капитала.

Издержки применения re собственного (акционерного) капитала действую-

щего предприятия равны требуемой акционерами доходности вложений.

Обычно этот показатель рекомендуют устанавливать с помощью бета-

модели, CAPM.

Издержки применения каждого вида заемного капитала рассчитываются по-своему. Рассмотрим только кредит, получаемый по ставке rc. Поскольку проценты по кредиту уменьшают налогооблагаемую прибыль, то налог на прибыль снижается, что эквивалентно для предприятия выплате процентов в меньшем размере. Поэтому посленалоговые издержки применения кредита составляют (1 - τ)rc , где τ — ставка налога на прибыль.

Исторически WACC появился в связи с задачей оценки бизнеса, и в этой сфере он широко применяется26. Однако тут же появились предложения при-

менить его и к оценке инвестиционных проектов, хотя убедительных теоре-

тических обоснований в общем случае этому не дано27.

26Некоторые авторы утверждают обратное, см. Михайлец В. Б.

27в известных нам западных источниках( соответственно, - в отечественных) WACC дается « на словах», без обоснования.

106

Мы можем обосновать WACC в частном случае: одноразовые инвестиции,

постоянный денежный поток до бесконечности с одинаковым уровнем риска,

безрисковое заимствование D с выплатой только процентов P до бесконеч-

ности. Предположим, для простоты, что проект реализуется с нуля (« в чистом поле»). Тогда стоимость фирмы V =E+D, где E – рыночная стоимость

центов и налогов(точнее, математическое ожидание, которое предполагается

ние для WACC.

Далее, V = EBIT(1- t)/W или V=[ EBIT(1- t)/W - I] +I.

В общем случае стоимость фирмы равна инвестированному капиталу I

плюс эффект от установленных активов( термин Дамодарана)31 +стоимость ожидаемого будущего роста. В данном случае стоимость ожидаемого буду-

щего роста равна нулю, так как дальнейшие инвестиции не предполагаются(

инвестиции на восстановление не в счет). В квадратных скобках мы имеем

28 зарубежные авторы так определяют стоимость фирмы, см. теорию Модильяни – Миллера, ММ.

29 Здесь мы следуем каноническим построениям – учитываем риск в ставке дисконта, а денежный поток берем равным математическому ожиданию, хотя для реальных проектов это неверно, см. раздел 4 .

30 Когда ( почти во всех книгах!) мы видим денежный поток равный (EBIT – P)(1-t), то спрашиваем себя, а где амортизация - она же, так сказать, приток ( в EBIT - амортизация отток, ее нужно «погасить») . Видимо, « первоисточники» предполагали (? – Г. П.), что в каждый период присутствуют инвестиции, равные амортизации( восстанавливаем актив в исходное состояние).

31 Мы бы сказали – существующих активов.

107