П.3. Задание на подготовку реферата «Системы массового обслуживания»

Задание состоит из двух частей.

Часть 1. Определение характеристик смо.

В реферате приводятся примеры десяти СМО.

Для каждой из СМО указывается, что представляет собой поток заявок или требований, например, поток покупателей, клиентов, пациентов или пассажиров и т.д.

Указывается величина λ – интенсивность потока заявок, т.е. среднее количество заявок в единицу времени, например λ = 20 1/день, т.е. двадцать заявок в день.

Указывается величина – среднее время обслуживания одной заявки, например = 0,1 дня.

Вычисляется величина μ – интенсивность обслуживания, т.е. среднее количество заявок, обслуженных в единицу времени. В соответствии с этим определением , поэтому величина 1/день.

Один из основных параметров СМО – величина нагрузки на систему – ρ, представляет собой отношение интенсивности потока заявок λ к интенсивности обслуживанияμ и определяется формулой , например, эрланга.

Величина ρ измеряется в единицах, называемых эрлангом.

Другим основным параметром СМО является величина n – количества каналов обслуживания. Знание параметров n и ρ позволяет с помощью формул Эрланга, либо таблиц, определить основные характеристики СМО – вероятность отказа Р_отк и вероятность обслуживания Р_обс.

В качестве примера СМО рассматривается парикмахерская с параметрами:

n = 3;

λ = 20 1/день;

= 0,1 дня;

μ = 10 1/день;

ρ = 2 эрланга.

Вероятность отказа согласно формулам Эрланга определяется следующим образом:

.

При n=3 и ρ=2 имеем:

.

Согласно таблицам Р_отк = 0,2105 ≈ 0,21.

Вероятность обслуживания

Р_обс=1 – Р_отк = 1 – 0,21 = 0,79.

Относительная пропускная способность

Q = Р_обс = 0,79.

Абсолютная пропускная способность

A =λQ= 200,79 = 15,8.

Согласно расчетам обслуживается примерно 79% поступивших заявок и 21% получает отказ.

Часть 2. Оценка экономической эффективности смо.

Известны характеристики СМО:

2. n– количество каналов;

3. А= λ Р_обс –абсолютная пропускная способность;

Задаются экономические параметры системы:

С₁– средний доход от обслуживания одной заявки;

С₂– издержки на создание одного канала;

g– доля дохода, идущего на эксплуатационные издержки;

Требуется определить период окупаемости Т_ок.

Пусть математическая модель оценки экономической эффективности СМО определяется следующими уравнениями.

Средний доход

D= С₁At.

Первоначальные затраты

I= С₂n.

Эксплуатационные издержки

L=gD.

Прибыль

R=D– (I+gD).

Графически модель показана на рис.П2

Рис. П2. Графическое представление модели оценки экономической эффективности СМО

Период окупаемости определяется из условия, состоящего в том, что в момент t= Т_ок прибыль R= 0.

Из этого условия следуют соотношения:

D – (I + g  D) = 0;

D (1 – g) = I;

С₁  A  Т_ок(1 – g) = I.

В итоге имеем, что

.

Для рассматриваемого примера – парикмахерской – n= 3, А = 15,8.

Если экономические параметры равны: С₁ = 10 грн, С₂ = 5000грн иg= 0,5, то имеем следующие экономические характеристики на момент окупаемости.

дней ≈ 0,5 года;

D = 10 15,8190 = 30020 грн.

I = 5000 7 = 15000 грн

L = 0,5 30020 = 15010 грн

R = 0

Обычно инвестором задается приемлемый срок окупаемости.

Например, Т_пр = 1,5 года. Если срок окупаемости меньше приемлемого, т.е. Т_ок < Т_пр, то принимается решение о приемлемости СМО.