Наилучшие решения в условиях частичной неопределенности

Игровые задачи обычно записываются в матричной форме. При этом строки матрицы игры соответствуют действиям игрока, а столбцы – состояниям ''природы''. Строки, как правило, имеют индекс i, а столбцы – индексj.

Матрицы могут быть двух видов:

• матрица выигрышей, иначе доходов;

• матрица рисков, иначе сожалений, потерь, ущерба.

Элементы матрицы выигрышей обозначаются через Wij, а матрицы рисков черезRij.

В игровых задачах риском называется величина, равная разнице между максимальным значением выигрыша в j-ом столбце и величиной выигрыша для рассматриваемогоi-го варианта действий.

Rij=Wj-Wij,

где Wj=maxWij.

В играх с природой в условиях частичной неопределенности используется два вида критериев принятия решения о целесообразности того или иного варианта действий.

Если игра записывается в виде матрицы выигрышей, то для принятия решения используется критерий максимума среднего выигрыша

W=maxWij∙Pj,j= 1…n,

где n- количество ситуаций;

Pj-вероятностьj-ой ситуации.

Если игра записывается в виде матрицы рисков, то используется критерий минимума среднего риска

W=minRij∙Pj.

Рассмотрим следующий пример из экономической сферы. Пусть имеется магазин, который может закупать товары трех типов Di, гдеi=1,2,3. В зависимости от сезона спрос на товары характеризуются вероятностямиPj, гдеj=1,2,3,4. В условиях неопределенности спроса, необходимо определить, какой из товаров закупать наиболее целесообразно. Матрица выигрышей есть матрица доходов магазина. Предположим, что матрица выигрышей имеет следующий вид.

		Спрос
	Pj	0,2	0,3	0,4	0,1	Wij ∙ Pj	W
	i j	1	2	3	4
Тип товара	1	1	4	5	9	4,3
	2	3	8	4	3	4,9
	3	4	6	6	2	5,2	5,2

Для каждой i-ой строки матрицы определяется средний выигрыш. Так средний доход от продажи товара первого типа в течение всех четырёх сезонов составляет

Wij∙Pj=W₁₁∙P₁ +W₁₂∙P₂ +W₁₃∙P₃ +W₁₄∙P₄ = 1 ∙ 0.2 + 4 ∙ 0.3 + 5 ∙ 0.4 + 9 ∙ 0.1 = 4.3

Для товаров второго и третьего типов средний доход соответственно равен 4.9 и 5.2.

Максимальным является средний за год доход от продажи товара третьего типа. Следовательно, рациональным будет решение о закупке товара третьего типа.

Для построения матрицы рисков находим максимальные значения выигрышей в каждом столбце: W₁= 4;W₂= 8;W₃= 6;W₄= 9.

Далее вычисляем величины рисков в каждом j-ом столбце. Так, для первого столбца в соответствии с соотношениемRi₁=W₁-Wi₁имеемR₁₁=4-1=3;R₂₁=4-3=1;R₃₁=4-4=0.

В результате подобных операций получаем матрицу рисков следующего вида.

		Спрос
	Pj	0,2	0,3	0,4	0,1	Rij ∙ Pj	W
	i j	1	2	3	4
Тип товара	1	3	4	1	0	2,2
	2	1	0	2	6	1,6
	3	0	2	0	7	1,3	1,3

В соответствии с критерием минимума среднего риска получаем, что наилучшее решение соответствует также третьему типу товара.

В теории статистических решений доказывается что стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш, и стратегия, которая обращает в минимум средний риск, являются одинаковыми.