10.4. Марковские случайные процессы Графы состояний смо

СМО являются динамическими системами. Состояние динамической системы обычно характеризуются совокупностью переменных величин, которые могут быть непрерывными и (или) дискретными.

Так, состояние человека определяется рядом непрерывных величин (температура тела, кровяное давление и т.д.), а также рядом дискретных переменных (пульс, частота дыхания и т. п.).

Одна из переменных обычно является основной. Такую роль у человека играет температура тела.

Состояние СМО также определяется совокупностью величин, среди которых основной является количество заявок, находящихся в системе, т. е. под обслуживанием и в очереди.

Эту переменную принято обозначать буквой S. Для системы с отказами, приnканалах обслуживания, количество состояний системы равноn+1.

При этом величина Sпринимает значения отS₀доS_n. Так, при двух каналах обслуживания система может находиться в одном из трех состояний:

S₀– все каналы свободны;

S₁– один из каналов занят обслуживанием;

S₂– оба канала заняты обслуживанием.

Для системы с ожиданием, имеющей nканалов обслуживания иmмест в очереди, количество возможных состояний равноn+m+1. Так приn=1 иm=1 система может находиться также в трёх состояниях:

S₀– канал свободен;

S₁–канал занят обслуживанием;

S₂– канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди.

Переход системы из одного состояния в другое происходит под воздействием потоков событий.

При этом поток заявок переводит систему в состояния с более высокой степенью занятости системы (из S₀вS₁ и т. д.), а под воздействием потока обслуживания происходят переходы в противоположном направлении, например, изS₁вS₀.

Важнейшими характеристиками СМО являются вероятности состояний. Вероятность Р₀характеризует состояниеS₀, Р₁– состояниеS₁и т. д.

Эти вероятности, по существу, определяют время пребывания СМО в том или ином состоянии. Так, если в результате расчётов получено, что Р₁=0,6, то это означает, что система 60 % времени находится в состоянии обслуживания одним каналом.

Вероятности состояний должны удовлетворять нормировочному условию, т. е.

(10.12)

Для наглядности и общности описания функционирования СМО используется понятие графа.

Графомназывается совокупность точек и соединяющих их линий. Точки называются вершинами графа, а линии – ребрами графа.

При описании функционирования вершинам соответствуют состояния системы, а ребрам – переходы между состояниями.

Граф системы с тремя состояниями показан на рис.10.18.

S₀

S1

S2

λ01 λ12

λ10 λ21

Рис. 10.18.Граф системы с тремя состояниями

Если над стрелками (ребрами) проставлены интенсивности переходов – слева направо λ₀₁и λ₁₂, и справа налево λ₂₁и λ₁₀, то такой граф называетсяразмеченнымграфом состояний.

В случае, когда переходы обусловлены потоками заявок и обслуживания, имеем, что λ₀₁=λ, а λ₁₀=μ .

Представленный граф является графом процесса ''гибели и размножения''

Графы процессов принятия решения имеют другую форму. Так граф принятия решения по критерию 3 из 4-х имеет вид показанный на рис.10.19.

Рис. 10.19.Граф процесса принятия решения

Здесь ''1'' соответствует хорошо выполненной работе, а ''0'' – плохо выполненной работе. Решение должно быть принято о том, является ли работник хорошим специалистом.