Методология разработки аналитических моделей смо
Для решения задач исследования СМО необходимо иметь, прежде всего, модель СМО. Кроме того, в зависимости от решаемой задачи могут быть необходимы блок оценки экономической эффективности и блок определения оптимальных параметров СМО.
Процессы, протекающие в СМО, как правило, являются случайными процессами, поскольку поток заявок и процесс обслуживания имеют случайный характер. Поэтому в общем случае модели СМО являются динамическими статистическими моделями.
Модели СМО могут быть:
имитационными;
аналитическими.
Имитационная модель может быть построена для любого типа СМО и любого типа потоков. В этом случае не используется никаких предположений относительно самой СМО и потока заявок. Модель строится на основе имитации работы реальной СМО.
Решение в этом случае получают методом статистических испытаний (методом Монте-Карло). Решение соответствует всему процессу работы СМО, т. е. как в переходном, так и в установившемся режимах. Для сложной СМО, как правило, строится имитационная модель.
Работа простой СМО может быть описана как с помощью имитационной, так и аналитической модели.
Аналитические модели строятся при определенных ограничениях, основное из которых состоит в том, что процессы в СМО должны быть марковскими.
В этом случае процессы в СМО описываются системами линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Такая система может быть проинтегрирована, однако общее решение является достаточно сложным. Решение в этом случае является бесконечной суммой специальных функций, называемых функциями Бесселя.
Для практических целей используются математические модели, характеризующие частные решения, которые описывают поведение СМО в установившемся режиме.
Частное решение является решением системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из исходной системы дифференциальных уравнений при равенстве нулю всех производных.
Ниже рассматриваются СМО, работа которых представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Методология разработки аналитических моделей подобных СМО состоит в следующем:
Вводится понятие простейшего потока событий, у которого количество требований, поступивших за некоторый промежуток времени, подчиняется закону Пуассона, а интервал времени между двумя последовательными заявками – экспоненциальному закону распределения.
Анализ СМО осуществляется на основе использования следующих понятий:
состояние СМО;
вероятность состояния;
интенсивности переходов между состояниями.
Состояние СМО определяется количеством занятых обслуживанием каналов и количеством заявок, находящихся в очереди.
Схематически возможные состояния изображаются в виде графа состояний. Если указаны интенсивности переходов, то граф состояний называется размеченным.
Предполагается, что входящий поток требований и поток обслуживания являются простейшими.
При выполнении условия 3, процесс скачкообразного перехода из одного состояния в другое является марковским.
Для марковского процесса характерно то, что будущее состояние системы зависит только от её состояния в настоящем и не зависит от прошлого.
Поведение системы с марковскими процессами описывается дифференциальными уравнениями А. Н. Колмогорова.
Уравнения Колмогорова позволяют определить вероятности состояний СМО в функции времени.
Решение этих уравнений характеризует поведение СМО как в переходном, так и в установившемся режимах. Однако полное решение является математически довольно сложным.
Практически важным является решение для установившегося или иначе стационарного режима.
В стационарном режиме система случайным образом меняет свои состояния. Но вероятности этих состояний постоянны. Они определяют среднее время пребывания системы в каждом из состояний. Вероятности для стационарного режима называются также предельными или финальными. Поскольку производные вероятностей в установившемся режиме равны нулю, система дифференциальных уравнений превращается в систему обычных алгебраических уравнений. Эта система совместно с нормировочным условием
позволяет вычислить все предельные вероятности состояний.
Графы состояний могут иметь различную форму.
Если граф состояний представляет собой цепочку, в которой каждое из средних состояний (S1,S2,….,Sn-1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний – правым и левым, а крайние состояния (S0иSn) – только с одним соседним состоянием, то случайный процесс, протекающий в такой системе, называется процессом гибели и размножения. Граф состояний для такой системы показан на рис.10.9.
Рис. 10.9.Граф состояний для схемы гибели и размножения
Для схемы гибели и размножения не требуется решать систему алгебраических уравнений Колмогорова. Для этой схемы существуют конечные выражения, непосредственно определяющие вероятности финальных состояний СМО.