Контрольные вопросы и задания к главе 10 «Модели и методы исследования систем массового обслуживания»

1. Дайте определение системы массового обслуживания и назовите ее основные элементы.

2. Укажите сферы применения СМО.

3. Сформулируйте предмет, цели и задачи теории массового обслуживания.

4. Приведите примеры и структурные схемы простых и сложных систем СМО.

5. Какими методами могут быть исследованы СМО?

6. Какого типа задачи решаются при исследовании СМО?

7. Какие показатели используются для характеристики СМО?

8. Приведите структурную схему простой СМО и назовите ее основные элементы.

9. Назовите основные параметры СМО с отказами и с ограниченным временем ожидания.

10. Приведите формулы Эрланга для СМО с отказами.

11. Приведите графики зависимости вероятности обслуживания от параметров СМО с отказами.

12. Приведите формулы для определения показателей качества функционирования и качества обслуживания.

13. Как классифицируются СМО по характеру очереди?

14. Каковы условия, при которых случайный процесс является простейшим?

15. Что такой граф состояний и каков его вид для системы с двумя состояниями?

16. Что такое марковский случайный процесс?

17. Что такое уравнение А.Н. Колмогорова?

18. Составьте систему алгебраических уравнений для установившегося режима СМО с двумя состояниями.

19. Что такое метод статистических испытаний?

20. В каких условиях необходимо применение метода статистических испытаний при исследовании СМО?

Глава 11. Анализ и синтез системы массового обслуживания Характеристика задач анализа и синтеза смо

Задача анализасистемы состоит в определении свойств или характеристик системы в зависимости от ее структуры и параметров.

В частности, для СМО задача анализа состоит в определении характеристик СМО, например, вероятности обслуживания, в функции таких параметров как интенсивность входящего потока или количество каналов обслуживания.

Задача синтеза системы состоит в том, что определяются параметры системы, обеспечивающие заданные, приемлемые или оптимальные свойства системы.

В частности для СМО задача синтеза может состоять в том, что определяется приемлемый вариант системы, например, по критерию в виде периода окупаемости.

При решении задач анализа характеристики СМО разделяются на три категории:

• основные;

• показатели качества функционирования;

• показатели качества обслуживания заявки.

К числу основных характеристик относятся:

• вероятность отказа;

• вероятность обслуживания.

Показателями качества функционирования являются:

• относительная пропускная способность;

• абсолютная пропускная способность;

• среднее число занятых каналов;

• коэффициент загрузки каналов и т.п.

К числу показателей качества обслуживания заявки относятся:

• среднее число заявок в системе;

• среднее время пребывания заявки в системе.

Характеристики СМО могут определяться тремя способами:

• путем ручных расчетов;

• с применением компьютерных программ;

• с использованием таблиц.

При решении задач анализа СМО с отказами характеристики СМО определяются в функции двух параметров – интенсивности входящего потока и количества каналов обслуживания.

Подход к определению характеристик СМО с ограниченным временем ожидания по своим основным положениям совпадает с определением характеристик СМО с отказами. Вместе с тем имеется ряд отличий. Прежде всего характеристики СМО с ограниченным временем ожидания зависят не от двух параметров (n и ), как в СМО с отказами, а от трех параметров – n,  и . где n – количество каналов,  - приведенная интенсивность входящего потока и  - приведенная интенсивность потока «уходов» из системы.

Формулы, определяющие характеристики СМО с ожиданием, являются более сложными, чем для СМО с отказами, в связи с чем ручные расчеты затруднены.

Третье отличие связанно с тем, что расчеты для СМО с ожиданием являются приближенными, поскольку в исходные формулы входит сумма бесконечного ряда, а в расчетах она заменена конечной суммой. Поэтому результаты расчетов зависят от методики приближения и от задаваемой ошибки приближения.

В рассматриваемом случае задача синтеза решается путем ранжирования вариантов СМО и выбора из них наиболее предпочтительного.Для сопоставления вариантов СМО рассчитываются период окупаемости и на момент окупаемости определяются такие показатели, как:

• доход;

• первоначальные затраты;

• эксплуатационные издержки.

В процессе сопоставления варианты СМО расставляются в ряд по возрастанию соответствующего показателя.

По результатам расчетов составляются таблицы в которых указывается номер в ряду по возрастанию показателя, исходный номер, наименование варианта СМО и величина показателя.

Анализ результатов ранжирования позволяет решить задачу синтеза, т.е. сделать вывод о предпочтительности варианта, например, по критерию минимума периода окупаемости или по критерию максимума дохода и т.п.

1. Анализ системы массового обслуживания с отказами

   Графы и вероятности состояний СМО

   Согласно приведенному выше определению система массового обслуживания – это система, в которую в некоторые моменты времени (в основном случайные) поступают так называемые заявки (требования), над которыми совершаются однотипные действия.

Если заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему, то такая система называется СМО с отказами или СМО Эрланга.

Примером одноканальной СМО с отказом является обычная городская телефонная сеть. Если при наборе номера слышатся короткие гудки, то это означает, что данный канал (номер) занят. Заявка получает отказ и необходимо выйти из системы – положить трубку.

Многоканальной СМО с отказами является междугородняя АТС с предварительным набором цифры «8». Если все каналы «8»-ки заняты, заявка получает отказ.

Если заявки при занятости каналов не покидают систему, а становятся в очередь, то система называется СМО с ожиданием. СМО может быть с бесконечным ожиданием, с ограниченным временем ожидания и ограниченным количеством мест в очереди.

Графически СМО характеризуется с помощью графов состояний. Количество состояний l определяется формулой

l = n+m+1, (11.1)

где n – количество каналов,

m – количество мест в очереди.

Первым является состояние, когда все каналы свободны. Оно обозначается как S₀ , а его вероятность как Р₀ . Граф состояний в общем виде показан на рис.11.1.

Рис. 11.1.Граф состояний

Пример значений вероятности для системы с четырьмя состояниями: Р = 0,15; Р₁ = 0,3; Р₂=0,3; Р₃ = 0,25.

Состояния S₀, S₁, …, S_k, S_n с вероятностями P₀, P₁, …, P_k, P_n образуют полную группу событий, поэтому имеем, что

,

где Р_k – вероятности состояний.

Вероятности состояний показывают долю времени в процентах, в течение которого система находится в том или ином состоянии. В данном случае 15% – в нулевом; по 30% – в первом и втором и 25% – в третьем.

Расчёт вероятностей состояний для СМО с отказами осуществляется с помощью формул Эрланга.