- •В.М.Лазебник экономическая кибернетика
- •Содержание
- •Введение
- •Раздел I
- •Структура кибернетики
- •Принципы построения кибернетических систем различных прикладных направлений
- •1.2. Экономическая кибернетика Предмет, цели и задачи курса
- •Структура и состав экономической кибернетики
- •История кибернетики и информационных наук
- •1.3. Кибернетические системы Система и ее основные характеристики
- •Классификация систем
- •Целостность, эмерджентность и синергизм
- •Контрольные вопросы и задания к главе 1 «Кибернетика и кибернетические системы»
- •Глава 2. Моделирование
- •2.1. Модели и моделирование
- •Основные схемы процесса моделирования
- •Классификация моделей
- •История моделирования Появление моделей относится к глубокой древности, и восходит по времени к бронзовому веку (XV-XX в.В. До н. Э.).
- •Совместное использование моделей различных типов
- •2.2. Последовательность разработки и использования математических моделей Процесс моделирования
- •6. Разработка программы, реализующей алгоритм модели на компьютере.
- •Контрольные вопросы и задания к главе 2
- •Реализация управления
- •Разомкнутые системы управления
- •Внешние и внутренние возмущения
- •Анализ свойств разомкнутой системы управления
- •3.2. Замкнутые системы управления
- •Коэффициенты передачи и передаточные функции замкнутой системы управления
- •Анализ свойств замкнутой системы управления
- •Выводы:
- •Типы обратных связей и сферы их применения Обратные связи могут быть:
- •Структурная схема и процессы в системе отрицательной обратной связи показаны на рис.3.6
- •3.3. Классификация систем управления и виды задач управления Классификация систем управления
- •Виды задач управления
- •Понятие гомеостазиса
- •3.4. Закон необходимого разнообразия и его следствия для систем управления Энтропия систем и закон необходимого разнообразия
- •Свойства систем управления, основанные на законе необходимого разнообразия
- •3.5. Управление сложными системами Иерархические системы управления
- •Централизованное и децентрализованное управление сложными системами
- •Анализ децентрализованных систем управления
- •Контрольные вопросы и задания к главе 3 «Управление»
- •Глава 4. Информация
- •4.1. Основные категории информации и ее классификация Определение понятия информации
- •Основные категории информации – данные и знания
- •Основные свойства информации
- •Виды информации
- •Основные требования, предъявляемые к качеству информации
- •Классификация информации
- •4.2. Экономическая информация и экономическая семиотика Экономическая информация
- •Экономическая семиотика
- •Основные элементы системы передачи информации
- •4.3. Измерение количества информации Основные подходы к измерению количества информации
- •Объемный метод измерения количества информации
- •Энтропийный подход к измерению количества информации
- •Вопрос 2: Число х больше шести?
- •Вопрос 3: Число х меньше шести?
- •Количество информации, получаемое от отдельного сообщения
- •Семантический подход к определению количества информации
- •4.4. Ценность информации Определение ценности информации
- •Человек и информация
- •Бытовые – искажение информации в отчетах, в докладах начальству, в отношениях мужчины и женщины, и т.П.
- •4.5. Кодирование информации Кодирование
- •Криптография
- •Десятичное кодирование информации
- •Двоичное кодирование информации
- •Избыточность информации
- •Контрольные вопросы и задания к главе 4 «Информация»
- •Глава 5. Моделирование экономических систем
- •5.1. Системные свойства экономики Основные системные свойства экономики
- •Структуры и модели рыночной экономики
- •5.2. Моделирование и принятие решений Принятие решений
- •Методы обоснования решений
- •Количественные методы позволяют установить насколько один результат лучше другого.
- •5.3. Критерии качества и критерии принятия решений
- •Требования, предъявляемые к критериям качества
- •Классификация и формы критериев качества Классификация критериев качества
- •Математические формы критериев качества
- •Статистические задачи
- •5.4. Примеры математических моделей экономических систем
- •Модель оценки экономической эффективности системы массового обслуживания
- •Часть 1.Модель определения характеристик смо.
- •Часть 2.Модель определения экономической эффективности смо.
- •Модели динамических систем Модель динамического звена первого порядка
- •Модель динамического звена второго порядка
- •Модель экономического роста
- •Модели финансовых операций Первая модель
- •Вторая модель
- •Третья модель
- •Четвертая модель
- •Пятая модель
- •Шестая модель
- •Контрольные вопросы и задания к главе 5 «Моделирование экономических систем»
- •Раздел II
- •Оптимизационные задачи
- •Оптимизация систем массового обслуживания
- •Оптимизация систем управления запасами
- •6.2. Оптимальное распределение ресурсов между несколькими этапами и между несколькими объектами Последовательная (многоэтапная) оптимизация с использованием метода динамического программирования
- •Уравнение оптимальности Беллмана имеет вид
- •Оптимизация маршрута
- •Оптимальное распределение ресурсов между несколькими объектами
- •Приравниваем производные нулю
- •Контрольные вопросы и задания к главе 6 «Оптимизация экономических систем»
- •Глава 7. Наилучшие решения в условиях неопределенности и многокритериальности
- •7.1. Наилучшие решения в условиях частичной и полной неопределенности Игры с «природой»
- •Наилучшие решения в условиях частичной неопределенности
- •Наилучшее решение в условиях полной неопределенности
- •Матрица выигрышей
- •7.2. Наилучшие решения в условиях многокритериальности
- •Контрольные вопросы и задания к главе 7 «Наилучшие решения в условиях неопределенности и многокритериальности»
- •Раздел III искусственный интеллект
- •Глава 8. Системы искусственного интеллекта
- •8.1. Основные положения по построению систем искусственного интеллекта
- •Зависимость типа системы управления от сложности объекта управления и влияния случайных факторов
- •История систем ии
- •Виды неопределенностей
- •8.2. Нечеткие системы
- •Нечеткие системы в управлении
- •Контрольные вопросы и задания к главе 8 «Системы искусственного интеллекта»
- •Глава 9. Нейронные сети, экспертные системы и генетические алгоритмы
- •9.1. Нейронные сети Принципы построения и основные свойства нейронных сетей
- •Представление знаний в нейронных сетях
- •Применение нейронных сетей в экономике
- •Пример решения задачи прогнозирования
- •9.2. Экспертные системы Принципы построения и функционирования экспертных систем
- •Пример применения экспертных систем в экономике и финансах – экспертная система для кредитных операций
- •Представление знаний в экспертных системах
- •9.3. Генетические алгоритмы
- •Контрольные вопросы и задания к главе 9 «Нейронные сети, экспертные системы и генетические алгоритмы»
- •Раздел IV
- •Структурная схема простой смо. Основные обозначения. Характеристики важнейших параметров Структурная схема простой смо
- •Основные обозначения
- •Характеристики важнейших параметров
- •Задачи исследования смо
- •Методология разработки аналитических моделей смо
- •Обозначения моделей смо
- •10.3. Потоки событий Характер величин и процессов в смо
- •Смо с детерминированными потоками
- •Случайные потоки событий
- •10.4. Марковские случайные процессы Графы состояний смо
- •Марковские процессы
- •Стационарный режим динамического процесса
- •Законы распределения, определяющие описание и формирование простейшего потока
- •Закон Пуассона
- •Исходные данные
- •Алгоритм решения задачи
- •Решение
- •Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •Закон равномерной плотности
- •10.5. Уравнения Колмогорова Дифференциальные и алгебраические уравнения Колмогорова
- •Общие формулы решения системы алгебраических уравнений Колмогорова для схемы ''рождения и гибели''
- •10.6. Модель Эрланга Одноканальная смо с отказами
- •Многоканальная смо с отказами
- •10.7. Имитационное моделирование систем массового обслуживания Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •Исследование смо с применением метода статистических испытаний
- •Методика и пример формирования простейшего потока
- •Контрольные вопросы и задания к главе 10 «Модели и методы исследования систем массового обслуживания»
- •Глава 11. Анализ и синтез системы массового обслуживания Характеристика задач анализа и синтеза смо
- •Определение вероятностей отказа и обслуживания Основные формулы для смо Эрланга
- •Пример расчетов по формулам Эрланга
- •Построение графиков вероятности отказа и обслуживания на основе расчетных данных
- •Построение графиков вероятностей отказа и обслуживания на основе табличных данных
- •Графики вероятностей отказа
- •Графики вероятностей обслуживания
- •Определение показателей качества смо с отказами
- •Показатели качества обслуживания заявки
- •Показатели качества обслуживания заявки
- •Пример расчета характеристик смо с ожиданием
- •Расчетные параметры:
- •Показатели качества функционирования
- •Показатели качества обслуживания заявки
- •Компьютерные программы и таблицы вероятностей отказа для смо с ограниченным временем ожидания
- •Сопоставление смо с отказами и смо с ожиданием
- •11.3. Методика оценки экономической эффективности смо Постановка задачи оценки экономической эффективности
- •Уравнения блока оценки экономической эффективности
- •Уравнения полной модели оценки экономической эффективности смо
- •Модель смо
- •Блок оценки экономической эффективности
- •Вариант №2 кафе «десерт»
- •Определение показателей экономической эффективности смо на момент окупаемости Результаты расчетов
- •Составление итоговой таблицы результатов расчетов по оценке экономической эффективности смо
- •Сопоставление вариантов смо по основным экономическим характеристикам
- •11.5. Синтез системы массового обслуживания и принятие решения об инвестировании Составление таблицы результатов расчетов по оценке экономической эффективности смо
- •Ранжирование вариантов и выводы
- •Определение взаимосвязи параметров смо с экономическими параметрами системы
- •Контрольные вопросы и задания к главе 11 «Анализ и синтез системы массового обслуживания »
- •Приложения п.1. Программа курса «Экономическая кибернетика»
- •Раздел IV. Информация
- •Раздел V. Моделирование
- •Раздел VI. Системы массового обслуживания (смо)
- •Раздел VII. Оптимизация и принятие решений
- •Раздел VII. Искусственный интеллект
- •П.2. Задание на подготовку реферата «Замкнутые системы управления»
- •П.3. Задание на подготовку реферата «Системы массового обслуживания»
- •Часть 1. Определение характеристик смо.
- •Вероятность обслуживания
- •Часть 2. Оценка экономической эффективности смо.
- •Результаты расчетов
- •Ранжирование, анализ вариантов и выводы
- •П.4. Равномерно распределенные случайные числа
- •П 5. Вероятности отказа для смо Эрланга
- •П 6. Компьютерные программы для смо Эрланга п 6.1. Программы на языке Паскаль
- •П.6.3. Программа на языке Visual Basic для расчета экономической эффективности смо
- •П 7. Вероятности отказа для смо с ограниченным временем ожидания
- •П 8. Компьютерная программа для смо с ограниченным временем ожидания
- •Литература
Исходные данные
Интенсивность потока λ=2 вызова/мин.
Интервал времени t=3 мин.
Число событий простейшего потока за время t
а) k=4;
б) k<4;
в) k>4.
Алгоритм решения задачи
Вероятность появления k событий простейшего потока за время tпри интенсивности потока λ определяется формулой Пуассона
.
Решение
а) Искомая вероятность того, что за 3 мин. поступит четыре вызова
.
б) Событие ''поступило менее четырех вызовов'' произойдет, если наступит одно из следующих несовместных событий:
поступило три вызова;
поступило два вызова;
поступил один вызов;
не поступило ни одного вызова.
Эти события несовместны, поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:
Р3(к<4)=Р3(3)+Р3(2)+Р3(1)+Р3(0)==e-6(36+18+6+1)=0.0025 ∙ 61= 0.1525.
в) События ''поступило менее четырех вызовов'' и ''поступило не менее четырех вызовов'' противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 3 мин поступит не менее четырех вызовов
Р3(k>4)=1- Р3(k<4)=1-0.1525=0.8475
Экспоненциальный (показательный) закон распределения
Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое определяется плотностью вероятности
f(t)=λe-λt(10.17)
при t>0, где λ- параметр распределения.
Функция распределения показательного закона
F(t)=1-e-λt. (10.18)
Отметим, что F(t) иногда называют интегральным законом распределения.
Плотность распределения при λ =5 определяется соотношением f(t)=5 ∙e-5t.
Значение этой функции приведены в табл.10.5.
Таблица 10.5
t |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
f(t) |
5 |
3,03 |
1,84 |
0,676 |
0,25 |
График функции приведен на рис.10.26.
f(t)
5
4
3
2
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 t
Рис. 10.26.Плотность вероятности случайной величины, подчиняющейся экспоненциальному закону
Закон равномерной плотности
Непрерывные случайные величины, подчиняющиеся этому закону, во-первых, находятся в пределах некоторого определенного интервала, и во-вторых, в пределах этого интервала все значения случайной величины имеет одну и ту же плотность вероятности.
На отрезке (0,1) плотность вероятности для этого закона
1 при 0<x<1
f(x)= (10.19)
0 при х<0 или х>1.
Закон распределения
0 при Х<0
F(x)= Х при 0<X<1
1 при X>1.
Графики функций f(t) и закона распределенияF(t) показаны на рис.10.27.
а) б)
Рис. 10.27.Плотность вероятности (а) и функции распределения (б) для закона равномерной плотности
10.5. Уравнения Колмогорова Дифференциальные и алгебраические уравнения Колмогорова
Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987г.г.) – выдающийся математик, академик, профессор МГУ, заложил основы теории марковских случайных процессов с непрерывным временем.
Уравнения Колмогорова – это особый вид дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.
Эти уравнения описывают поведение СМО, в которых процессы являются марковскими с дискретными состояниями S0,S1,S2…Snи с непрерывным временем.
СМО будет марковской, если оба воздействующих на неё потока – заявок и обслуживаний – являются простейшими.
Обозначим через Pk(t) вероятность того, что в момент времениtсистема находится в состоянииSk.
Для любого момента времени справедливо нормировочное условие (10.12), состоящее в том, что сумма вероятностей всех состояний равна единице.
Уравнения Колмогорова рассмотрим на примере одноканальной СМО с отказами. Такая система может находиться в двух состояниях SoиS1соответственно с вероятностямиP0(t) иP1(t).
В подобной системе S0– состояние, когда система свободна от обслуживания, аS1– состояние, когда система занята обслуживанием.
Размеченный граф состояний системы показан на рис. 10.28.
Рис. 10.28.Размеченный граф состояний одноканальной СМО с отказами
Составим дифференциальные уравнения, решение которых определяет процессы изменения вероятностей состояния во времени.
Вид этих процессов в зависимости от соотношения интенсивностей λ и µ показан на рис.10.29.
Рис. 10.29.Процесс изменения вероятностей состояний приλ>µ
Рис. 10.30.Процесс изменения вероятностей состояний приλ=µ
Полностью весь процесс, т. е. в переходном и установившемся режиме характеризуется дифференциальными уравнениями Колмогорова, а в установившемся режиме - алгебраическими уравнениями.
Зафиксируем момент времени t, в который система с вероятностьюPo(t) находится в состоянииSoи с вероятностьюP1(t) в состоянииS1.
Дадим времени малое приращении Δt. Тогда в момент времениt+ Δtсостояние системы будет характеризоваться вероятностямиPo(t+Δt) иP1(t+Δt). Рассматриваемая ситуация представлена на рис. 10.31.
Рис. 10.31.Процесс изменения вероятностей состояний приλ<µ
Найдем вероятности Po(t+Δt) иP1(t+Δt). Существенным моментом при нахождении этих вероятностей является предположение о том, что потоки заявок и обслуживания являются простейшими.
Для простейшего потока, как известно, распределение интервалов времени между событиями является экспоненциальным. Пусть для потока требований закон распределения при интенсивности потока λ имеет вид:
F(t)=1-e-λt,
а плотность распределения записывается следующим образом
f(t)=λe-λt.
Аналогично для потока обслуживания с интенсивностью µ имеем:
F(t)=1-e-µt ,
f(t)=µe-µt.
Первоначально определим вероятность Po(t+Δt), т. е. найдем вероятность того, что в моментt+Δtсистема будет находится в состоянииSo.
Возможны два варианта событий. Событие А состоит в том, что система в момент времени tнаходилась в состоянииSoи за время Δtне перешла из него вS1, поскольку не пришло ни одной заявки.
Событие В заключается в том, что в момент времени tсистема находилась в состоянииS1, при этом за время Δtканал освободился и система перешла в состояниеS0.
Графически ситуация представлена на рис.10.32.
Рис.10.32.Вариант (а) – система не перешла изS0вS1; вариант (б) – система перешла изS1 вS0
Итак, система будет, находится в состоянии So, если произошло событие А или событие В.
Событие А и В не могут произойти одновременно, т. е. они являются несовместными.
В соответствии с теоремой сложения вероятностей имеем, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
P(C)=P(A+B)=P(A) +P(B).
Отметим, что суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В.
В результате имеем, что вероятность нахождения системы в состоянии S0в моментt+Δt
P0(t+ Δt)=P(A)+P(B).
Вероятности P(A) иP(B) найдем с использованием теоремы умножения вероятностей.
Известно, что произведением двух событий называется событие D, состоящее в совместном выполнении событийD1 иD2.
Событие D1 называется независимым от событияD2, если вероятность событияD1 не зависит от того, произошло событиеD2 или нет.
Для независимых событий в соответствии с теоремой умножения вероятностей имеем, что:
P(D)=P(D1∙D2)=P(D1)∙P(D2).
Найдем вероятности P(A) иP(B).
Событие А является сложным событием, состоящим из двух независимых событий. Первое состоит в том, что в момент tсистема находилась в состоянииS0. Вероятность этого событияPo(t).
Второе событие заключается в том, что за время Δtне пришло ни одной заявки. Вероятность этого события обозначим черезPнз. Тогда имеем, что
P(A)=P0(t) ∙ Pнз(Δt).
Событие Bтакже состоит из двух независимых событий. Первое – система в моментtнаходилась в состоянииS1с вероятностьюP1(t) и второе – за времяtканал освободился и система перешла в состояниеSo. Вероятность второго события обозначим черезPосв(Δt)
Тогда
3) P(B)=P1(t) ∙Pосв(Δt).
Определим вероятности Pнз(Δt) иPосв(Δt).
При этом используем следующие соотношения. Вероятность того, что за время Δtпроизойдет событие, подчиняющиеся экспоненциальному закону с интенсивностью λ
4) F(Δt)=1-e-λΔt.
Вероятность противоположного события, состоящего в том, что событие не произойдет
5) (Δt)=1-[1-e-λΔt]=e-λΔt.
С учетом того, что Δt– малая величина, имеем приближенные соотношения
e-λΔt ≈ 1-λ∙Δt
и
1-e-λΔt ≈λ∙Δt
Замена функции e-λΔtна приближенное значение 1-λ∙Δtграфически показана на рис.10.33.
Рис. 10.33.Замена экспоненциальной функции на линейную
Следовательно, вместо формул 4 и5 имеем:
F(Δt) =λ∙Δt
и (Δt) = 1- λ∙Δt.
Если интенсивность входящего потока λ, а интенсивность потока обслуживания µ, то получаем следующие соотношения:
вероятность неприхода заявки
Pнз(Δt)=(Δt)≈1- λ∙Δt
и вероятность освобождения канала
Pосв(Δt)=F(Δt)= λ∙Δt.
Эти соотношения подставляем в формулы 2 и 3. В результате получаем соотношения для P(A) иP(B).
P(A)=P0(t) ∙Pнз(Δt)=P0(t) ∙ (1-λ∙Δt)
P(B)=P1(t) ∙Pосв(Δt)=P1(Δt)=P1(t) ∙ (Δt).
Следовательно
P0(t+Δt)=P(A)+P(B)=P0(t) ∙ (1-λ∙Δt)+P1(t)(µΔt).
Графически рассматриваемая ситуация показана на рис.10.34, где представлены плотности вероятностей для потоков событий с интенсивностями λи µ.
Рис. 10.34.Получение выражений для вероятностей событий через линейные соотношения
Преобразуя полученное уравнение, имеем
P0(t+Δt)=P0(t)-P0(λΔt)+P1(t)(µΔt).
Переносим P0(t) в левую часть и делим на Δt.
(P0(t+Δt)-P0(t))/Δt= -P0(t) ∙ λ+P1(t)µ.
Поскольку левая часть в пределе при Δt0 есть производнаяP0(t), получаем следующее дифференциальное уравнение
0(t)= -P0(t) ∙λ+P1(t) ∙µ. (10.21)
Аналогичным образом получаем для P1(t) дифференциальное уравнение
1(t)= -P1(t) ∙µ+P0(t) ∙λ. (10.22)
В результате имеем систему дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова.
Если записать уравнения без указания аргумента, т. е. вместо P0(t) записатьP0, а вместоP1(t) записатьP1, то система принимает следующий вид:
(10.23)
С учетом обозначений λ = λ10и µ = λ10система уравнений принимает вид
(10.24)
А. Н. Колмогоровым получено общее правило составления дифференциальных уравнений, характеризующих процессы в марковских системах.
Эти уравнения составляются на основании размеченного графа состояний.
Для одноканальной системы с отказами граф состояний показан на рис.10.35.
Рис. 10.35.Граф системы с двумя состояниями
Правило составления дифференциальных уравнений состоит в следующем. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности какого-то (k-го) состояния.
В правой части находятся слагаемые, представляющие собой произведения вероятностей на интенсивности соответствующих потоков.
Если поток направлен в данное состояние, то слагаемое берется со знаком плюс, а если из данного состояния, то со знаком минус.
Для одноканальной системы с отказами имеем вытекающие из этого правила уравнения со следующей структурой.
производные выходящие входящие
вероятностей потоки потоки
Нормировочное условие
Po+P1=1.
Ранее указывалось, что решение дифференциального уравнения Колмогорова представляет значительные математические трудности, и практически используются решения для стационарного режима.
В теории случайных процессов показывается, что существуют предельные (финальные) вероятности состояний, характеризующие стационарный или установившийся режим работы СМО.
Поскольку предельные вероятности постоянны, то заменив в уравнениях Колмогорова производные нулевыми значениями, получаем систему алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО.
Такую систему уравнений составляют на основании размеченного графа состояний в соответствии со следующими правилами:
слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность Pkрассматриваемого состоянияSk, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состоянияSk(выходящие стрелки);
справа от знака равенства стоит сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в состояние Skсистемы, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят (входящие стрелки).
Для одноканальной СМО с отказами имеем:
Состояния Выходящие потоки Входящие потоки
S0P0∙λ01=P1∙ λ10
S1 P1∙ λ10 = P0∙λ01
P0+P1= 1.
Составим систему алгебраических уравнений для СМО, размеченный граф состояний которой показан на рис.10.36.
Рис. 10.36.Граф системы с тремя состояниями
Для состояния Выходящие потоки Входящие потоки
S0 P0∙ λ01 = P1∙ λ10
S1 P1(λ10+ λ12) = P0∙ λ01+P2∙ λ21
S2P2∙ λ21=P1∙ λ12
P0+P1+P2 = 1.
Граф системы с четырьмя состояниями показан на рис. 10.37.
Рис. 10.37.Граф системы с четырьмя состояниями
Уравнения для системы с четырьмя состояниями имеют вид:
Состояния Выходящие потоки Входящие потоки
S0P0∙ λ01=P1∙ λ10
S1P1(λ10+λ12) =P0∙λ01+P2∙λ21
S2P2(λ21+λ23) =P1∙λ12+P3∙λ32
S3P3∙λ32 =P2∙λ23
P0+P1+P2+P3= 1.