- •Теория и методика математического развития дошкольников
- •Isbn 5-89502-499-8 (мпси)
- •Isbn 5-89395-536-6 (нпо «модэк»)
- •От автора
- •Значение и задачи математического развития детей дошкольного возраста
- •Блок самопроверки
- •Глава 1. Теоретические основы методики математического развития детей дошкольного возраста
- •§ 1. Возникновение математики и развитие ее как науки
- •Блок самопроверки
- •§ 2. Развитие понятия натурального числа
- •Блок самопроверки
- •§ 3. Виды письменной нумерации. Системы счисления
- •Блок самопроверки
- •§ 4. Счетные приборы
- •Блок самопроверки
- •§ 5. Становление, современное состояние и перспективы методики математического развития детей дошкольного возраста
- •Блок самопроверки
- •Вопросы и задания
- •Глава 2. Организация обучения и математического развития детей дошкольного возраста
- •§ 1. Общедидактические принципы обучения дошкольников элементам математики
- •Блок самопроверки
- •§ 2. Содержание математического развития дошкольников
- •Блок самопроверки
- •§ 3. Формы организации обучения детей элементам математики
- •Модель учебного процесса по формированию элементарных математических представлений у старших дошкольников
- •Блок самопроверки
- •§ 4. Роль дидактических средств в математическом развитии детей
- •Блок самопроверки
- •§ 5. Методы обучения детей элементам математики
- •Блок самопроверки
- •§ 6. Особенности организации работы по математике в разновозрастных группах детского сада
- •Блок самопроверки
- •Вопросы и задания
- •Глава 3. Формирование у детей раннего и дошкольного возрастов
- •§ 1. Множества и операции с ними
- •Блок самопроверки
- •§ 2. Восприятие и отображение множеств детьми раннего и дошкольного возрастов
- •Блок самопроверки
- •§ 3. Задачи и содержание обучения детей дискретным величинам (множествам)
- •Блок самопроверки
- •§ 4. Методы и приемы формирования у детей представлений о множестве
- •Блок самопроверки
- •§ 5. Возможности ознакомления детей с графическим обозначением множеств
- •Блок самопроверки
- •Вопросы и задания
- •Глава 4. Развитие у детей представлений и понятий о числе и счете. Задачи и методика обучения
- •§ 1. Раннее заимствование детьми слов-числительных из речи взрослых
- •Блок самопроверки
- •§ 2. Этапы счетной деятельности
- •Блок самопроверки
- •§ 3. Обучение детей счету с помощью чисел
- •Блок самопроверки
- •Вопросы и задания
- •Глава 5. Подготовка дошкольников к вычислительной деятельности и обучение решению задач
- •§ 1. Подготовка детей к вычислительной деятельности
- •Блок самопроверки
- •§ 2. Обучение детей решению арифметических задач и примеров
- •Блок самопроверки
- •Вопросы и задания
- •Глава 6. Ознакомление детей с величиной (размером) предметов. Обучение измерению
- •§ 1. Понятие о величине (размере) предметов
- •Блок самопроверки
- •§ 2. Особенности восприятия величины предметов детьми раннего и дошкольного возрастов
- •Блок самопроверки
- •§ 3. Задачи и содержание ознакомления детей дошкольного возраста с величиной предметов
- •Блок самопроверки
- •§ 4. Методы и приемы формирования представлений и понятий о величине предметов
- •Блок самопроверки
- •§ 5. Методика обучения детей измерению
- •Модель учебного процесса в группе шестого года жизни по ознакомлению детей
- •Блок самопроверки
- •Глава 7. Формирование представлений и понятий о форме предметов у детей дошкольного возраста
- •§ 1. Геометрическая фигура — основа восприятия формы предмета
- •§ 2. Возможности и особенности восприятия формы предметов детьми
- •Количественные показатели группировки предметов и геометрических фигур на уровне различения (в %)
- •§ 3. Задачи и содержание ознакомления детей с формой предметов
- •§ 4. Методика формирования представлений и понятий о форме
- •§ 5. Дидактические игры и упражнения по формированию представлений и понятий о форме
- •Занимательный математический материал по ознакомлению детей с формой предметов
- •Вопросы и задания
- •Глава 8. Развитие у детей ориентировки в пространстве
- •§ 1. Понятие о пространстве и пространственной ориентировке
- •§ 2. Генезис пространственных ориентировок у детей
- •§ 3. Задачи и методика обучения детей ориентировке в пространстве
- •Блок самопроверки
- •§ 4. Дидактические игры и упражнения на ориентировку в пространстве
- •Блок самопроверки
- •Вопросы и задания
- •Глава 9. Развитие у детей ориентировки во времени
- •§ 1. Время и его свойства. Анализ исследований по проблеме
- •§ 2. Особенности восприятия времени детьми раннего и дошкольного возрастов
- •§ 3. Задачи и методика формирования временных представлений и понятий
- •Вопросы и задания
- •Глава 10. Преемственность в математическом развитии детей детского сада и школы
- •§ 1. Возникновение и развитие проблемы готовности детей к школе
- •§ 2. Преемственность в работе школы и детского сада (историко-дидактический аспект)
- •§ 3. Пути установления преемственных связей в работе школы и детского сада по обучению математике
- •Блок самопроверки
- •§ 4. Показатели готовности детей к усвоению математики в школе
- •Блок самопроверки
- •Вопросы и задания
- •Глава 11. Методическое руководство математическим развитием детей в детских дошкольных учреждениях и отделах образования
- •§ 1. Роль заведующей детским садом и методиста в организации работы по формированию элементарных математических представлений
- •§ 2. Формы повышения уровня педагогических знаний и мастерства воспитателей
- •§ 3. Работа методических кабинетов, отделов (управлений)образования по вопросам математического развития детей
- •Блок самопроверки
- •Вопросы и задания
- •Глава 12. Преподавание предмета «Методика формирования элементарных математических представлений у детей» в дошкольных педагогических училищах, колледжах
- •§ 1. Задачи и содержание преподавания методики
- •§ 2. Планирование работы по методике формирования элементарных математических представлений
- •8. Структура занятия:
- •Блок самопроверки
- •§ 3. Формы обучения учащихся. Учет успеваемости
- •Блок самопроверки
- •§ 4. Руководство самостоятельной работой учащихся
- •Вопросы и задания
- •1. Разноуровневые программы1
- •1 Составлены в соавторстве с т. М. Степановой.
- •Высокий уровень развития детей
- •Средняя группа (пятый год жизни) Достаточный уровень развития детей
- •Высокий уровень развития детей
- •Старшая группа (шестой год жизни) Достаточный уровень развития детей
- •Высокий уровень развития детей
- •Подготовительная к школе группа (седьмой год жизни) Достаточный уровень развития детей
- •Высокий уровень развития детей
- •2. Конспект комплексного занятия по математике в старшей группе «Пробуждение весны»
- •3. Конспект занятия по математике в старшей группе
- •Список рекомендуемой литературы
- •Оглавление
- •2. Конспект комплексного занятия по математике
- •3. Конспект занятия по математике в старшей группе………………….377
Блок самопроверки
Развитие математики осуществляюсь постепенно и в основном у каждого народа ..., независимо от других. Однако любой народ в развитии ... проходил определенные закономерные этапы: от открытия основных ... понятий, законов к созданию математической ... . В любом случае практика шла впереди и побуждала ученых к дальнейшим .... дальнейшему развитию.
Современный период характеризуется тем, что ... проникла во все другие науки, уровень развития которых во многом зависит от того, насколько они в своих исследованиях пользуются математическими ..., ее данными |
|
самостоятельно
математики
математических
теории открытиям
математика
методами |
§ 2. Развитие понятия натурального числа
Рассматривая вопрос формирования понятия натурального числа у детей, нужно иметь четкое представление о развитии этого понятия в историческом аспекте — филогенезе. Изучение истории математики, в частности периода зарождения математики, дает возможность понять основные закономерности возникновения первых математических понятий («множество», «число», «величина», «арифметическое действие», «система счисления» и др.) и использовать эти закономерности с учетом передового педагогического опыта и современных исследований по разным проблемам обучения детей математике.
21
Как показывают научные данные по истории математики, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практической деятельностью возникла потребность как-то количественно оценивать совокупности. Сначала количество элементов в множествах не отделялось от самих множеств, воспринималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), но и мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно потому, что отдельные предметы четко отличались по своим признакам.
Итак, на этой стадии развития понятие числа представляло собой отдельные числа-свойства и числа-качества конкретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чисел-свойств.
С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые совокупности, но и создавать совокупности определенного количества. Для этого предметы определенной совокупности сопоставлялись по одному непосредственно с предметами другой совокупности или с помощью некоторого эталона (зарубки, узелки, части тела человека и др.) Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так, практически, человек овладевал операцией установления равенства, взаимно-однозначного соответствия.
Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствии с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой перехода к счету. Однако число как общее свойство равночисленных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке и т. д.
22
Этот период в истории развития натурального числа называется стадией счета на пальцах — ручного счета.
На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запястью, локтю, плечу и т. д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке. У островитян Торресового пролива на человеческом теле можно было осуществить счет до 33. Если совокупность имела больше 33 элементов, то использовали палочки. Именно в этом случае, когда исчерпывалась возможность использования частей тела, они начинали пользоваться палочками (причем все палочки приблизительно одинаковые). Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «живой шкалы». Очевидно, она сначала была нужна не для индивидуализации чисел, выделения каждого отдельного числа, а лишь для сравнения, установления взаимно-однозначного соответствия между предметами обеих совокупностей.
Для проведения арифметических операций человек использовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные совокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с помощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.
Выдающийся русский ученый и путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай (1846—1888) так описывает папуасов — жителей Новой Гвинеи.
Любимый способ счета папуаса состоял в том, что он загибал один за одним пальцы руки, при этом произнося определенный звук, например «бе, бе, бе...». Досчитав до пяти, он говорил «ибон-бе» (рука), потом загибал пальцы другой руки, снова повторял «бе, бе, бе...», пока не доходил до «ибон-али» (две руки). Тогда он шел дальше, пока не доходил до «самба-али» (две ноги). Если нужно было считать
23
дальше, папуас пользовался пальцами рук и ног кого-нибудь другого.
В процессе развития общества все больше и больше совокупностей приходилось пересчитывать, простое установление равночисленности и счета на пальцах уже не могло удовлетворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно больших совокупностей.
Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую систему счета можно назвать групповой, или счетом с помощью чисел-совокупностей. Идея считать группы была подсказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встречаются на практике постоянными группами (парами, тройками, десятками, пятерками).
У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-ба-нара» — 10 корзин с едой, но отдельно «на», которому соответствовало бы число 10, не используется. На одном из диалектов индейцев западной части Канады слово «тха» означает три вещи, «тхе» — три раза, «тха-тоэн» — в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, там нет. Наличие в определенных совокупностях именно этой части показывает, что люди уже начинают примечать и отображать в своем языке группы, имеющие общие свойства. На этой стадии развития счета не каждой группе приписывается число, а только те группы являются числами-совокупностями, которые часто встречаются в хозяйственной или другой деятельности племени.
Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пережило все человечество. Во всех языках, в том числе и славянском, есть такие грамматические формы, как единичная, двойственная и множественная. Слово, которое обозначает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве
24
предметов. В некоторых языках есть особая форма тройственности. Эти речевые формы — пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».
В процессе обмена одна из групп предметов становится мерой для других, своеобразным эталоном. С этой группой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других, постепенно привело к тому, что позднее начала осознаваться количественная сторона этой группы. Количественная характеристика группы предметов постепенно приобретает самостоятельное значение. Так возникло понятие числа и его названия, т. е. понятие о конкретных числах. Эти числа использовались прежде всего для практических целей людей — счета скота, шкур и др. Постепенно числа начали использоваться для пересчитывания элементов конкретных множеств. Так, например, возникло слово-число «сорок». В русских народных легендах ему принадлежит особенная роль. Корень слова «сорок», или «сорочок», такой же, что и в слове «сорочка». На шубу шло 40 штук соболей. Известно, что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок, или «сорочок», соболей составляли целую шубу и также были единицей ценности.
Первые числа были своеобразными «островами», определенными ориентирами в счете. Счет осуществлялся пятерками, десятками, дюжинами некоторых предметов, т. е. числа-совокупности были узловыми числами, это название закрепилось в арифметике. Узловые числа — это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные числа названия. Остальные числа называют алгорифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Алгорифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами.
Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для характеристики
25
определенного способа действий с конкретным множеством. Так, в речи индейцев Северной Америки, а также племен Британской Колумбии выкладывание первых двух десятков предметов не сопровождается этими словами-классификаторами. Счет последующих единиц словесно оформляется как результат действия. Например, число 26 обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть». Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратных десяти. Таким образом, эти термины существуют лишь для того, чтобы размешать по разрядам единицы, которые идут за десятками, но не сами десятки.
Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих языках, в том числе и русском. Так, числа от одиннадцати до девятнадцати произносятся как соответствующее число единиц, положенных на десять: один на дцать, пять на дцать и т. д. В этом случае частицу «на» следует понимать именно как «положенное на». Позднее возникли арифметические операции.
Постепенно определился последовательный ряд натуральных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чисел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умножение. Особенно это прослеживается в римской нумерации: VI = 5 + 1; ХС= 100— 10 и т. д. Образование алгоритмических чисел на основе использования арифметических операций нашло отражение в названиях некоторых чисел в украинском, белорусском, французском и других языках.
Однако числовой ряд на этой стадии еще не был однородным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40, и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобретало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было основой для возникновения запретов, связанных с этими числами. (Некоторые из этих поверий сохранились до настоящего времени.) Такими числами были: 7, 13, 40 и др.
26
Число 40 в легендах многих восточных народов играет особую роль. Выражение «сорок сороков», часто используемое в русском языке, является обозначением очень большого, бесконечно большого числа.
Что касается счета сороками, то есть и еще одно предположение о том, что это исходит от счета по суставам пальцев. Сибирские звероловы считали большим пальцем по двум суставам остальных четырех пальцев, таким образом досчитывая до сорока. Использование третьего сустава в этом процессе считалось неудобным.
Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным. Натуральных чисел бесконечно много, среди них нет наибольшего. Какое бы большое число мы не взяли, если прибавим к нему единицу, то получим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом осмыслении арифметики.