2.8. Алгебраический подход к понятию n-мерного вектора

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записанный в виде строки или столбца. Обозначение: где … - элементы или координаты вектора х. Число координат определяет размерность вектора. Векторы равны между собой только в том случае, когда у них одинаковая размерность и равны соответствующие координаты. Отсюда следует, что координаты вектора нельзя менять местами, так как в результате получатся неравные векторы.

Над n-мерными векторами можно выполнять линейные операции: складывать, вычитать, умножать на число по известным уже нам правилам для трехмерных векторов, заданных в координатной форме.

Скалярным произведением двух n-мерных векторов и называется число . (2.16)

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен х на вектор объема продукции у. Скалярное произведение ху в этом случае дает суммарную стоимость продукции.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Нетрудно проверить, что линейные операции над n-мерными векторами х,у,z удовлетворяют следующим условиям:

1. х + у = у + х

2. 

3. 

4. 

5. 

5) , где - некоторые числа.

Скалярное произведение n-мерных векторов обладает следующими свойствами:

1) , причем хх = 0 только при х = 0

2) ху = ху

3)

4)

Множество n-мерных векторов образует линейное n-мерное пространство, обозначаемое Rⁿ, так как для любых двух векторов выполняются операции сложения и умножения на число, причем эти операции удовлетворяют условиям 1) - 6). В частности, пространства трехмерных и двухмерных векторов обозначаются R³ и R² .

2.9. Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов называется сумма произведений этих векторов на действительные числа ,то есть сумма

(2.17)

которая тоже является вектором. Числа называются коэффициентами линейной комбинации.

Пример 2.2. Составить линейную комбинацию векторов = (3; -2; 4) и =(1; -1; -5) с коэффициентами = 2, = -3 .

Решение. Вычислим сначала 2 и -3

2 = 2(3; -2; 4) = (6; -4; 8); -3 = -3(1; -1; -5) = (-3; 3; 15).

Теперь составим линейную комбинацию

2 - 3 =(6; -4; 8)+ (-3; 3; 15)=(3; -1; 23)

Пример 2.3. Составить линейную комбинацию векторов =(5; 4), =(-1; 2), =(-10; -1) с коэффициентами = 3, = -5, = 2.

Решение. Находим искомую линейную комбинацию:

3 - 5 + 2 = 3(5; 4)- 5(-1; 2)+ 2(-10; -1) = (15; 12)+(5; -10)+(-20; -2) = (0; 0)=

Этот пример показывает, что в некоторых случаях можно подобрать коэффициенты так, что линейная комбинация системы векторов окажется равной нуль-вектору.

Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию = , причем хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

Если из системы векторов нельзя составить нулевую линейную комбинацию, то система векторов называется линейно независимой.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из них можно представить виде линейной комбинации остальных векторов. На плоскости можно найти линейно независимую систему из двух, но не большего числа векторов, в трехмерном пространстве - из трех, но не большего числа векторов и так далее.

Векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует в точности n линейно независимых векторов. Базисом n-мерного пространства называется любая система из n линейно независимых векторов этого пространства. Базис в векторном пространстве играет роль, сходную с ролью системы координат. Каждый вектор пространства можно выразить через векторы базиса. Смотрите, например, представление трехмерного вектора в компонентах (2.4), где - базисные векторы.