- •Кафедра физики и высшей математики
- •Часть I
- •Лекция 1. Определители и матрицы
- •1.1. Матрицы: основные сведения
- •1.2. Определители: их вычисление и свойства
- •Определители второго порядка вычисляют по формуле
- •1.3. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •1.4. Системы линейных уравнений
- •1.4.1. Метод Крамера
- •1.4.2. Метод обратной матрицы
- •1.4.3. Метод Гаусса
- •Лекция 2. Векторы
- •2.1. Геометрические векторы
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2.3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Разложение вектора по осям координат
- •2.5. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
- •2.6. Скалярное произведение двух векторов
- •2.8. Алгебраический подход к понятию n-мерного вектора
- •2.9. Линейная зависимость векторов
- •Лекция 3. Плоскость и прямая
- •3.1. Плоскость в пространстве
- •3.2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •3.3. Прямая в пространстве r3
- •3.4. Две важные задачи аналитической геометрии
- •3.5. Прямая на плоскости
- •Если а 0, в 0, с 0, то прямая (3.11) пересекает обе координатные оси.
- •Раскрывая скобки в уравнении (3.15), получим
- •3.6. Угол между двумя прямыми на плоскости
- •3.7. Площадь треугольника
- •Лекция 4. Введение в анализ
- •4.1. Функция
- •4.2. Предел
- •4.3. Предел переменной величины
- •4.4. Предел функции
- •4.5. Бесконечно малые и их основные свойства
- •4.6. Основные теоремы о действиях с пределами
- •4.7. Сравнение бесконечно малых
- •4.8. Два замечательных предела
- •4.9. Непрерывность функции
- •4.9.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •4.9.2. Непрерывность функции в точке
- •4.9.3. Свойств непрерывной на отрезке функции
- •4.10. Некоторые приемы раскрытия неопределенностей вида или при вычислении пределов функции
- •Лекция 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Производная
- •5.2. Механический смысл производной
- •5.3. Геометрический смысл производной
- •5.4. Дифференцируемость и непрерывность функции
- •5.5. Схема нахождения производной
- •5.6. Таблица производных основных элементарных функций
- •5.7. Правила дифференцирования элементарных функций
- •5.8. Производная сложной функции
- •5.9. Производная параметрически заданной функции
- •5.10. Неявная функция и ее дифференцирование
- •5.11. Дифференциал
- •5.12. Производные и дифференциалы высших порядков
- •5.13. Частные производные
- •5.14. Полный дифференциал
- •Лекция 6. Приложения производной к исследованию функций
- •6.1. Правило Лопиталя
- •6.2. Экстремум функции
- •6.2.1. Возрастание и убывание функции, его аналитические признаки
- •6.2.2. Точка максимума и минимума
- •6.2.3. Необходимое условие экстремума
- •6.2.4. Достаточные признаки существования экстремума
- •6.3. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба
- •6.3.1. Необходимые и достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика
- •6.4. Второй достаточный признак экстремума
- •6.5. Асимптоты
- •6.6. Схема общего исследования функции и построения ее графика
- •Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономическим специальностям. Часть I
5.11. Дифференциал
Пусть дана дифференцируемая на некотором отрезке [а,Ь] функция . Ее производная, по определению, есть следующий предел
.
А из определения предела следует, что если - предел переменной , то , где - бесконечно малая, то есть , если . Отсюда получаем приращение функции , состоящее из двух слагаемых. Поскольку в общем случае, а , то первое слагаемое есть главная часть приращения функции при , а второе слагаемое - бесконечно малая величина высшего порядка при , которой во многих задачах можно пренебречь. Главная часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается символом :
(5.7)
Итак, дифференциал функции есть произведение производной на приращение аргумента.
Рассмотрим функцию и найдем ее дифференциал. По формуле (5.7) получим , откуда видно, что . Тогда формулу (5.7) можно записать так
(5.8)
Из этого соотношения следует, что , то есть, что производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента.
Выше было показано, что , где первое слагаемое есть главная часть приращения. В приближенных вычислениях иногда пользуются равенством , которое в развернутом виде можно записать
откуда (5.9)
Пример 5.7. Вычислить приближенно .
Решение. Будем рассматривать функцию . Найдем ее производную . Подставим . Положим в подкоренном выражении (ближайшее целое число, точный корень 4-й степени из которого извлекается и равен 3); . Тогда, по формуле (5.9) будем иметь
.
Поскольку дифференциал функции равен производной этой функции, умноженной на дифференциал независимой переменной, то правила нахождения дифференциала такие же как и для производной. В частности, , , , .
Пример 5.8. Найти дифференциалы следующих функций:
а) ; ;
б) ; ;
в) ; .
5.12. Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция имеет производную на отрезке . Ее производная тоже будет, вообще говоря, функцией от х. Дифференцируя эту функцию, получим вторую производную или производную второго порядка , а ее производная, то есть - производная третьего порядка и т.д., - производная n-го порядка.
Пример 5.9. Найти производные высших порядков функций:
а) , ;
б) , , , , и т.д.
в) , , , , .
Теперь рассмотрим дифференциалы высших порядков. Если дана функция , имеющая производную, то ее дифференциал по формуле (5.8) будет равен и является тоже функцией от х. Если надо найти дифференциал этой функции, то по той же формуле (5.8) дифференциал 2-го порядка будет таким или . В свою очередь, дифференциал 3-го порядка или и так далее. Вообще дифференциал n-го порядка запишется так
.
Из полученных выражений для дифференциалов 1-го, 2-го, 3-го и т.д. n-го порядков следует такая связь между производными и дифференциалами высших порядков: , , , …, .
Пример 5.10. Дана функция . Найти ее дифференциалы до третьего порядка включительно.
Решение. ,
,
.