5.7. Правила дифференцирования элементарных функций

Из основных элементарных функций при помощи арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень можно составить элементарные функции. Рассмотрим правила их дифференцирования. Для краткости записей обозначим одной буквой дифференцируемые функции , , , постоянную величину – буквой С. Итак имеем правила:

1) ,

2) ,

3) ,

4) , где ,

5) , в частности, ; .

5.8. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция такая, что ее можно представить в виде , где - промежуточный аргумент. Пусть обе эти функции дифференцируемы, первая по , вторая по .

Рассмотрим отношение конечных приращений переменных . Умножим числитель и знаменатель этой дроби на конечное приращение . Получим .

Найдем пределы выражений в левой и правой частях этого равенства при . Заметим, что функция , дифференцируемы, а значит непрерывны. Следовательно, при будет и . И тогда

или

, или (5.3)

Символ обозначает производную функции по аргументу .

Правило: Производная сложной функции у по равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по конечному аргументу .

Пример 5.2. Найти функции .

Решение. Данную функцию можно представить как функцию от функции, где , . Тогда , . По формуле (5.3) получим .

Замечание. Если , где , - два промежуточных аргумента, то , и так далее.

Пример 5.3. Найти функции .

Решение. Здесь , . Тогда , , . По формуле (5.4) получим . Подставляя в правой части вместо , их значения, выраженные как функции от , получим .

5.9. Производная параметрически заданной функции

Функциональная зависимость определяет на плоскости множество точек, координаты которых связаны этим соотношением. Во многих случаях эта зависимость весьма сложна и анализ ее затруднен. В этом случае бывает целесообразен переход к другим координатам (например к полярным) или параметрическое задание функции.

В этом случае координаты точек, связанные соотношением задаются как функции параметра .

Например, уравнение Элменса

можно записать в виде , , где .

Пусть дана функция , , где t – параметр, , - дифференцируемые функции. Найти производную .

Рассмотрим отношение конечных приращений переменных , разделим числитель и знаменатель дроби на конечное приращение .

Ввиду дифференцируемости функции , , они непрерывны, из чего вытекает, что при будет и . Перейдем в предыдущем равенстве к пределу

Все эти пределы – производные по определению. Таким образом,

или (5.5)

Пример 5.4. Дана функция , , . Найти .

Решение. Найдем

.

По формуле (5.5) получим .

5.10. Неявная функция и ее дифференцирование

Если две переменные , связаны между собою функциональной зависимостью, которую можно записать в виде , то такую функцию будем называть явной, то есть такой, из которой явно видно, что - независимая переменная, а - зависимая.

Но иногда переменные и связаны зависимостью, символически обозначаемой так:

, (5.6)

из которой не видно (не явствует) какая переменная является независимой, а какая зависимой. Функции такого вида называются неявными. При их дифференцировании одна из переменных (по вашему выбору, зависящему от смысла задачи) принимается за аргумент, а другая за функцию. Так если принять за аргумент, а за функцию, то при дифференцировании по в тех местах, где встречается , следует дифференцировать как сложную функцию, имея в виду, что .

(Иногда уравнение, задающее неявную функцию, можно разрешить относительно и представить в явном виде).

Пример 5.5. Найти функции .

Решение. Производная суммы равна сумме производных. Почленно дифференцируя, получим , откуда .

Пример 5.6. Найти функции .

Решение.

, (здесь )

.