5.13. Частные производные

Может возникнуть резонный вопрос: а можно ли дифференцировать функцию нескольких переменных и как это сделать?

Рассмотрим функцию двух независимых переменных как представителя множества функций нескольких переменных. Пусть функция непрерывна в некоторой области D. Это значит, что в каждой точке этой области

, (5.13)

где - полное приращение функции.

Рассмотрим теперь изменения функции, которые происходят при изменении только одной переменной. Другая переменная остается неизменной, постоянной. Получим две разности:

- частное приращение функции по ,

- частное приращение функции по у.

Если существует конечный предел отношения при , то есть , , (5.14)

то он называется частной производной функции по . Аналогично определяется частная производная по у.

, (5.15)

Поскольку по определению любое частное приращение зависит от изменения только одной переменной (остальные переменные считаются постоянными), то дифференцирование функций нескольких переменных производится по правилам, применяемым для дифференцирования функций одной переменной. С другими переменными поступают при этом как с величинами постоянными.

В обозначениях , употребляется специально круглое вместо прямого . Это общепринятый символ частной производной.

Пример 5.11. Найти частные производные функций

а) ;

б) .

Решение.

а) , ; , .

б) ; .

Механический смысл частной производной теп же, что я для функции одной переменной - это скорость изменения функции относительно изменяемой переменной.

Геометрический смысл частной производной функции двух переменных - это угловой коэффициент касательной к поверхности в точке М₀ на этой поверхности. Причем касательная расположена в плоскости, параллельной соответствующей координатой плоскости и проходящей через точку М₀.

Для функций трех и более переменных геометрической интерпретации частных производных не существует.

5.14. Полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение или дифференциал соответствующей переменной называется частным дифференциалом. Для функции двух переменных частные дифференциалы имеют вид , . Аналогично для функций трех и большего числа переменных.

Сумма частных дифференциалов функции по всем ее переменным называется полным дифференциалом. Для функции полный дифференциал выражается равенством

(5.15)

Он представляет собою главную часть полного приращения функции двух независимых переменных.

Пример 5.12. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Используя формулу (5.15), получим

.

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области D называется дифференцируемой в этой области.

Поскольку частные производные являются в общем случае тоже функциями нескольких переменных, их можно в свою очередь дифференцировать по той же или другой переменной. Так приходят к частным производным высших порядков, по одной и той же переменной или смешанным. '

Пример 5.13. Дана функция . Найти все вторые производные.

Решение. Найдем первые частные производные , : ; .

Найдем вторые частные производные , , , :

; ; ; .

Пример 5.14. Дана функция . Найти все частные производные третьего порядка.

Решение.

Смешанные частные производные одинакового порядка оказываются равными между собой независимо от последовательности дифференцирования во всех точках, где они непрерывны.