М
ИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ ИМЕНИ К.Г.РАЗУМОВСКОГО
(образован в 1953 году)
Кафедра физики и высшей математики
Дистанционное
обучение
Лысенко В.И. |
Гофман В.Г
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Лекции для студентов высших
учебных заведений, обучающихся заочно
Часть I
www.msta.ru
Москва 2008г.
УДК 51
Лысенко В. И., Гофман В.Г. Высшая математика. Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономическим специальностям, ч.I – М., МГУТУ, 2008, 56 с.
Лекции знакомят читателя с основными понятиями математики, используемыми в экономических науках, дают основы математических методов, необходимых для решения экономических задач.
Рецензенты:
- кафедра высшей математики Государственного университета по землеустройству, зав. каф., д.ф.-м.н., профессор Соловьёв И.А.;
- зав.кафедрой Высшей и Прикладной математики Московской Государственной Академии Тонкой Химической Технологии им. М.В. Ломоносова, заслуженный деятель науки РФ, академик Международной Академии Высшей Школы, д.ф. – м. н., профессор Карташов Э.М.
Редактор Свешникова Н.И.
ã Лысенко Валентин Иванович, Гофман Виктор Гершонович
Московский Государственный Университет Технологий и Управления.
109004, Москва, Земляной вал, 73.
Лекция 1. Определители и матрицы
В лекции обсуждаются основные понятия таких разделов как матрицы, определители и системы линейных уравнений. Предлагаются правила выполнения математических операций над этими объектами и приемы решения задач.
1.1. Матрицы: основные сведения
Совокупность
чисел или элементов иной природы (букв,
функций и т.п.), записанную в виде
прямоугольной таблицы, состоящей из m
строк и n
столбцов, называют матрицей
размера 
.
Обозначают матрицы заглавными буквами
латинского алфавита.
(1.1)
Буквами
аij
, где i
– номер строки, j
– номер столбца (i
=
1,2,3, … m;
j
= 1,2,3, … n)
обозначены элементы матрицы. Если
,
матрица
называется квадратной
матрицей
n-го
порядка.
Матрицы, состоящие из одной строки или одного столбца, называются матрица-строка и матрица-столбец.
Например,
В
= (1; 2; -4, 7), С
=
.
(Их
называют еще векторами.
Ниже
это обсуждается подробнее).
Матрицам В и С соответствуют векторы b = (1;2;-4;7), с = (2;1;-3). Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается буквой О. У квадратной матрицы различают главную диагональ, состоящую из a11, a22, … ann и побочную диагональ a1n, a2n-1, a3n-2, … an1. Обычно, говоря диагональ матрицы, подразумевают главную диагональ.
Квадратная
матрица, все недиагональные элементы
которой равны
нулю,
называется
диагональной.
Например, A=
.
Матрица, все
диагональные
элементы которой равны 1, называется
единичной
матрицей
и обозначается буквой E.
Например,
Е
=
- единичная матрица второго порядка.
Матрицу, все элементы которой ниже главной диагонали – нулевые, называют верхней треугольной.
Матрицу с нулевыми элементами в начале каждой строки начиная со второй называют ступенчатой.
(Верхняя треугольная – частный случай ступенчатой)
Существуют и другие виды матриц, часть из них рассмотрена ниже.