Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Высшая математика (часть 1).doc
Скачиваний:
22
Добавлен:
24.11.2019
Размер:
4.44 Mб
Скачать

Лекция 2. Векторы

В лекции обсуждаются основные понятия таких разделов как векторное исчисление и матричный анализ.

2.1. Геометрические векторы

Вектор - направленный отрезок АВ прямой, у которого различают начало - точку А и конец - точку В. Обозначают так . К понятию вектора, как величины, характеризуемой и числом и направлением, приводят многие задачи прикладных наук и математики. Сила, скорость - векторные величины, они характеризуются и числом и направлением; площадь, объем, температура - величины скалярные, для их характеристики достаточно числового значения.

Длиной или модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается модуль вектора так . Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором. Модуль нуль-вектора равен нулю, а направление его неопределенное. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Два вектора считаются тождественными или равными, если один из них может быть получен из другого с помощью параллельного переноса. Рассмотрим векторы, которые можно свободно перемещать в пространстве, соблюдая условия параллельности, не меняя направления и длины. Их называют свободными векторами.

2.2. Линейные операции над векторами

Над векторами можно производить линейные операции: умножение на число и сложение.

Векторы, лежащие на одной и той же прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными. Произведением числа на вектор и называется вектор, коллинеарный вектору , длина которого равна и который одинаково направлен с вектором , если > 0 и противоположно направлен, если < 0. В частности, умножение данного вектора на -1 дает противоположный вектор - , а умножение на 0 дает нуль-вектор. При этом = . Условие коллинеарности двух векторов и такое:

= (2.1)

Сложение векторов.

С ложение двух векторов выполняется по правилу параллелограмма. Суммой двух векторов и называется третий вектор , имеющий с ними общее начало и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис. 2.1).

С уммой нескольких векторов + + +…+ является вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора (по правилу замыкающей стороны многоугольника). О свойствах сложения векторов будет сказано ниже.

Разность двух векторов определяется как сложение с противоположным вектором:

- = +(- )= (рис. 2.2).

В частности, - =0.

2.3. Проекция вектора на ось

Имеется в виду ортогональная проекция пространственного вектора, например, на направленную прямую или другой вектор .

При этом проекциями начала и конца вектора являются основания перпендикуляров и , опущенных из точек А и В на ось (рис. 2.3).

Проекцией вектора ось называется произведение модуля вектора на косинус угла между вектором и осью.

пр. , (2.2)

где . Модуль величина положительная или равная нулю, а сомножитель может быть положительным, отрицательным или равным нулю. От этого зависит и знак проекции:

, если

, если

, если