- •Кафедра физики и высшей математики
- •Часть I
- •Лекция 1. Определители и матрицы
- •1.1. Матрицы: основные сведения
- •1.2. Определители: их вычисление и свойства
- •Определители второго порядка вычисляют по формуле
- •1.3. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •1.4. Системы линейных уравнений
- •1.4.1. Метод Крамера
- •1.4.2. Метод обратной матрицы
- •1.4.3. Метод Гаусса
- •Лекция 2. Векторы
- •2.1. Геометрические векторы
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2.3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Разложение вектора по осям координат
- •2.5. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
- •2.6. Скалярное произведение двух векторов
- •2.8. Алгебраический подход к понятию n-мерного вектора
- •2.9. Линейная зависимость векторов
- •Лекция 3. Плоскость и прямая
- •3.1. Плоскость в пространстве
- •3.2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •3.3. Прямая в пространстве r3
- •3.4. Две важные задачи аналитической геометрии
- •3.5. Прямая на плоскости
- •Если а 0, в 0, с 0, то прямая (3.11) пересекает обе координатные оси.
- •Раскрывая скобки в уравнении (3.15), получим
- •3.6. Угол между двумя прямыми на плоскости
- •3.7. Площадь треугольника
- •Лекция 4. Введение в анализ
- •4.1. Функция
- •4.2. Предел
- •4.3. Предел переменной величины
- •4.4. Предел функции
- •4.5. Бесконечно малые и их основные свойства
- •4.6. Основные теоремы о действиях с пределами
- •4.7. Сравнение бесконечно малых
- •4.8. Два замечательных предела
- •4.9. Непрерывность функции
- •4.9.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •4.9.2. Непрерывность функции в точке
- •4.9.3. Свойств непрерывной на отрезке функции
- •4.10. Некоторые приемы раскрытия неопределенностей вида или при вычислении пределов функции
- •Лекция 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Производная
- •5.2. Механический смысл производной
- •5.3. Геометрический смысл производной
- •5.4. Дифференцируемость и непрерывность функции
- •5.5. Схема нахождения производной
- •5.6. Таблица производных основных элементарных функций
- •5.7. Правила дифференцирования элементарных функций
- •5.8. Производная сложной функции
- •5.9. Производная параметрически заданной функции
- •5.10. Неявная функция и ее дифференцирование
- •5.11. Дифференциал
- •5.12. Производные и дифференциалы высших порядков
- •5.13. Частные производные
- •5.14. Полный дифференциал
- •Лекция 6. Приложения производной к исследованию функций
- •6.1. Правило Лопиталя
- •6.2. Экстремум функции
- •6.2.1. Возрастание и убывание функции, его аналитические признаки
- •6.2.2. Точка максимума и минимума
- •6.2.3. Необходимое условие экстремума
- •6.2.4. Достаточные признаки существования экстремума
- •6.3. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба
- •6.3.1. Необходимые и достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика
- •6.4. Второй достаточный признак экстремума
- •6.5. Асимптоты
- •6.6. Схема общего исследования функции и построения ее графика
- •Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономическим специальностям. Часть I
Лекция 2. Векторы
В лекции обсуждаются основные понятия таких разделов как векторное исчисление и матричный анализ.
2.1. Геометрические векторы
Вектор - направленный отрезок АВ прямой, у которого различают начало - точку А и конец - точку В. Обозначают так . К понятию вектора, как величины, характеризуемой и числом и направлением, приводят многие задачи прикладных наук и математики. Сила, скорость - векторные величины, они характеризуются и числом и направлением; площадь, объем, температура - величины скалярные, для их характеристики достаточно числового значения.
Длиной или модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается модуль вектора так . Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором. Модуль нуль-вектора равен нулю, а направление его неопределенное. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Два вектора считаются тождественными или равными, если один из них может быть получен из другого с помощью параллельного переноса. Рассмотрим векторы, которые можно свободно перемещать в пространстве, соблюдая условия параллельности, не меняя направления и длины. Их называют свободными векторами.
2.2. Линейные операции над векторами
Над векторами можно производить линейные операции: умножение на число и сложение.
Векторы, лежащие на одной и той же прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными. Произведением числа на вектор и называется вектор, коллинеарный вектору , длина которого равна и который одинаково направлен с вектором , если > 0 и противоположно направлен, если < 0. В частности, умножение данного вектора на -1 дает противоположный вектор - , а умножение на 0 дает нуль-вектор. При этом = . Условие коллинеарности двух векторов и такое:
= (2.1)
Сложение векторов.
С ложение двух векторов выполняется по правилу параллелограмма. Суммой двух векторов и называется третий вектор , имеющий с ними общее начало и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис. 2.1).
С уммой нескольких векторов + + +…+ является вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора (по правилу замыкающей стороны многоугольника). О свойствах сложения векторов будет сказано ниже.
Разность двух векторов определяется как сложение с противоположным вектором:
- = +(- )= (рис. 2.2).
В частности, - =0.
2.3. Проекция вектора на ось
Имеется в виду ортогональная проекция пространственного вектора, например, на направленную прямую или другой вектор .
При этом проекциями начала и конца вектора являются основания перпендикуляров и , опущенных из точек А и В на ось (рис. 2.3).
Проекцией вектора ось называется произведение модуля вектора на косинус угла между вектором и осью.
пр. , (2.2)
где . Модуль величина положительная или равная нулю, а сомножитель может быть положительным, отрицательным или равным нулю. От этого зависит и знак проекции:
, если
, если
, если