4.1. Функция

Если каждому значению переменной величины х, принадлежащему некоторой области, по определенному правилу (закону) ставится в соответствие одно и только одно определенное значение другой переменной величины у, то говорят, что у является функцией от х и обозначают так: у = f(x), причем х называют независимой переменной или аргументом, а у называют зависимой переменной или функцией. Символ f указывает вид зависимости у от х. Иногда пишут и так у = у(х).

Функции могут зависеть от одного, двух, трех и более аргументов. Например, площадь круга зависит только от величины радиуса, площадь прямоугольника от двух переменных – длины и ширины, объем параллелепипеда – от трех переменных: длины, ширины, высоты, цена продукта – от многих переменных.

Основные способы задания функции: табличный, графический и аналитический, (в виде формулы).

Различают следующие основные элементарные функции;

- степенная;

- показательная;

- логарифмическая;

- тригонометрические;

- обратные тригонометрические.

Из этих функций при помощи арифметических операций можно составить множество элементарных функций. Например, , , и т.д.

Функция от функции вида называется сложной функцией, где является промежуточным аргументом.

Выражение функциональной зависимости между несколькими переменными через вспомогательную переменную – параметр, называется параметрической функцией: , , где t – параметр. Например, , - параметрическое уравнение эллипса –замкнутой симметричной относительно осей координат кривой – равномерно растянутой (сжатой) вдоль одной из осей координат окружности.

4.2. Предел

Теория пределов является основанием классического математического анализа. Она изучает свойства пределов и устанавливает условия их существования и правила, по которым можно, зная пределы нескольких переменных величин, найти предел простейших функций этих величин.

Основой теории пределов является понятие бесконечно малой величины, имеющей своим пределом нуль. Никакая сколь угодно малая постоянная величина не является бесконечно малой, ею может быть только переменная, стремящаяся к нулю в процессе изменения. Только число 0 с формальной точки зрения является бесконечно малой величиной. Чтобы переменная величина х имела своим пределом постоянное число а, необходимо и достаточно, чтобы разность была бесконечно малой.

4.3. Предел переменной величины

Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для любого наперед заданного сколь угодно малого числа >0 можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству .

Если число а есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу а и обозначают это так , где lim – сокращение латинского слова limes – предел.

Из определения предела следует, что:

1) предел постоянной величины С равен самой постоянной, так как всегда выполняется неравенство при любом ;

2) переменная величина не может иметь двух пределов.

Переменная х стремится к бесконечности, если для любого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение х, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству . Например, переменная х, принимающая значения х₁=1, х₂=2, х₃=3 и т.д. стремится к бесконечности, так как нет такого числа, которое бы не превзошла эта переменная х.