- •Кафедра физики и высшей математики
- •Часть I
- •Лекция 1. Определители и матрицы
- •1.1. Матрицы: основные сведения
- •1.2. Определители: их вычисление и свойства
- •Определители второго порядка вычисляют по формуле
- •1.3. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •1.4. Системы линейных уравнений
- •1.4.1. Метод Крамера
- •1.4.2. Метод обратной матрицы
- •1.4.3. Метод Гаусса
- •Лекция 2. Векторы
- •2.1. Геометрические векторы
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2.3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Разложение вектора по осям координат
- •2.5. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
- •2.6. Скалярное произведение двух векторов
- •2.8. Алгебраический подход к понятию n-мерного вектора
- •2.9. Линейная зависимость векторов
- •Лекция 3. Плоскость и прямая
- •3.1. Плоскость в пространстве
- •3.2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •3.3. Прямая в пространстве r3
- •3.4. Две важные задачи аналитической геометрии
- •3.5. Прямая на плоскости
- •Если а 0, в 0, с 0, то прямая (3.11) пересекает обе координатные оси.
- •Раскрывая скобки в уравнении (3.15), получим
- •3.6. Угол между двумя прямыми на плоскости
- •3.7. Площадь треугольника
- •Лекция 4. Введение в анализ
- •4.1. Функция
- •4.2. Предел
- •4.3. Предел переменной величины
- •4.4. Предел функции
- •4.5. Бесконечно малые и их основные свойства
- •4.6. Основные теоремы о действиях с пределами
- •4.7. Сравнение бесконечно малых
- •4.8. Два замечательных предела
- •4.9. Непрерывность функции
- •4.9.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •4.9.2. Непрерывность функции в точке
- •4.9.3. Свойств непрерывной на отрезке функции
- •4.10. Некоторые приемы раскрытия неопределенностей вида или при вычислении пределов функции
- •Лекция 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Производная
- •5.2. Механический смысл производной
- •5.3. Геометрический смысл производной
- •5.4. Дифференцируемость и непрерывность функции
- •5.5. Схема нахождения производной
- •5.6. Таблица производных основных элементарных функций
- •5.7. Правила дифференцирования элементарных функций
- •5.8. Производная сложной функции
- •5.9. Производная параметрически заданной функции
- •5.10. Неявная функция и ее дифференцирование
- •5.11. Дифференциал
- •5.12. Производные и дифференциалы высших порядков
- •5.13. Частные производные
- •5.14. Полный дифференциал
- •Лекция 6. Приложения производной к исследованию функций
- •6.1. Правило Лопиталя
- •6.2. Экстремум функции
- •6.2.1. Возрастание и убывание функции, его аналитические признаки
- •6.2.2. Точка максимума и минимума
- •6.2.3. Необходимое условие экстремума
- •6.2.4. Достаточные признаки существования экстремума
- •6.3. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба
- •6.3.1. Необходимые и достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика
- •6.4. Второй достаточный признак экстремума
- •6.5. Асимптоты
- •6.6. Схема общего исследования функции и построения ее графика
- •Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономическим специальностям. Часть I
6.5. Асимптоты
Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-нибудь ветви кривой.
Асимптоты могут быть вертикальные, наклонные, горизонтальные. Вертикальным асимптотами являются прямые ; где а – точка бесконечного разрыва функции.
Наклонные асимптоты, это прямые вида , где
; . (6.1)
Горизонтальные асимптоты Получаются как частный случай наклонных асимптот, когда .
Пример 6.7. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Здесь , так как при функция не существует, а при функция неограниченно возрастает. Следовательно, прямая - вертикальная асимптота. Проверим теперь, существуют ли наклонные асимптоты вида этой функции. Для этого по формулам (6.1) вычислим :
.
Итак, уравнение наклонной асимптоты .
Найденные асимптоты значительно облегчают правильное построение графика функции.
6.6. Схема общего исследования функции и построения ее графика
Предлагается примерная схема исследования функции:
Находят область определения, точки разрыва, интервалы непрерывности.
Исследуют функцию на четность или нечетность, что позволяет судить о наличии (отсутствии) осевой или центральной симметрии графика.
Находят точки пересечения графика с осями координат («нули» функции), если они существуют.
Находят асимптоты, если они существуют.
Находят точки экстремума и интервалы монотонности функции.
Находят точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой.
По результатам исследования строят график функции.
Пример 6.8. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. Будем придерживаться предложенной выше схемы исследования.
1. Функция определена при всех значениях , кроме тех, при которых знаменатель , то есть, кроме и . Таким образом, область определения функции . Точки и являются точками бесконечного разрыва:
, ;
, .
2. Исследуем функцию на четность. Для этого подставим в ее формулу вместо . Получим , то есть . Это показывает, что функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат, что позволяет ограничиться исследованием функции для и перенести результаты влево симметрично точке .
3. Найдем «нули» функции. Полагая , видим, что , и обратно, если , то . Это значит, что график функции проходит через начало координат.
4. Из пункта 1 данного исследования видно, что прямые , являются вертикальными асимптотами. Найдем наклонные асимптоты, пользуясь формулами (6.1):
;
.
Итак, уравнение наклонной асимптоты . Проведем асимптоты (рис.6.7), это облегчит построение графика функции.
5 . Теперь исследуем функцию на экстремум по правилу, изложенному в §6.2.3. Ее первая производная будет равна нулю, если числитель дроби равен нулю, то есть или . Корни последнего уравнения , , являются критечкими точками первого рода. Производная не существует, если , но корни этого уравнения не входят в область определении функции и не могут быть критическими точками.
Сначала проверим характер экстремума в точке . В ее окрестности возьмем достаточно близкие две точки и . Легко видеть, что производная не меняет знак при переходе через точку , в самом деле , а значит, что функция монотонно убывает и точка не является точкой экстремума.
Перейдем к точке . Возьмем в ее окрестности две достаточно близкие точки и . Определим знаки производных в этих точках: , . Так как производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума. Найдем ее ординату, вычислив значение функции при . Получим . Итак, точка А(3; 4,5) есть точка минимума (рис.6.7). Ввиду симметрии графика относительно начала координат, точка В(-3; -4,5) является точкой макисмума.
Функция возрастает, если ; убывает, если .
6. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Для этого потребуется вторая производная функции . Вторую производную приравниваем к нулю. Она равна нулю, если числитель или , откуда - корень уравнения и точка возможного перегиба. Проверим меняет ли знак вторая производная при переходе через . Возьмем две точки и в окрестностях нуля. Оценим знак второй производной в этих точках , . Так как знак второй производной поменялся на противоположный при переходе через точку , то - точка перегиба, ее ордината - это начало координат.
Интервалы выпуклости графика , интервалы вогнутости .
Строим график. Он должен соответствовать результатам исследования.
Лысенко Валентин Иванович
|
Гофман Виктор Гершонович