1) Первым; 2) последним; 3) в середине;

4) Безразлично; 5) под номером .

Тест рассмотрен и утвержден на заседании кафедры « 11 » ноября 2008 г. Протокол № 3.

Зав. кафедрой ______________________ В.И. Иванов

ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Тест № 23 по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Направление подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»

Специальность подготовки 010501 «Прикладная математика и информатика»

1. Двумерный случайный вектор имеет нормальное распределение с плотностью распределения . Найти условную плотность распределения случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение x.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

2. Имеется две урны. В одной из них находится шар, о котором известно, что он либо белый, либо черный. В другой урне находится 1 белый и 2 черных шара. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар белый.

1) 3/13; 2) 5/12; 3) 4/11; 4) 1/2; 5) 2/3.

3. Среди 10 электрических лампочек три нестандартные. Найти вероятность того, что две одновременно лампочки окажутся нестандартными.

1) 0,032; 2) 0,067; 3) 0,052; 4) 0,039; 5) 0,089.

4. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при расчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

1) 0,50; 2) 0,60; 3) 0,33; 4) 0,67; 5) 0,55.

5. В каком из ниже перечисленных случаев понятие геометрической вероятности неприменимо?

1) Если пространство элементарных событий одномерно;

2) При вычислении вероятности обнаружения молекулы в заданном объеме;

3) При вычислении вероятности числа появлений события при независимых испытаниях;

4) При вычислении вероятности числа появлений события при зависимых испытаниях;

5) Если пространство элементарных событий многомерно.

6. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов.

1) 0,04; 2) 0,08; 3) 0,11; 4) 0,15; 5) 0,20.

7. В ВУЗе обучаются 3650 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходится на определенный день года, равна 1/365. Найти вероятность того, что ровно 9 студентов имеют один и тот же день рождения.

1) ~0,0; 2) 0,1; 3) 0,2; 4) 0,3; 5) 0,4.

8. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вытаскивают по одному шару до тех пор, пока не появится белый. Составить закон распределения числа появившихся при этом черных шаров.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

9. Случайная величина X задана плотностью вероятности в интервале (0;1), вне этого интервала .

Найти: постоянный параметр С; математическое ожидание величины X.

1) C=2/5, m_x=11/13; 2) C=3/4, m_x=11/17;

3) C=7/8, m_x=1/2; 4) C=1/3, m_x=11/17; 5) C=3/4, m_x=11/16.

10. Функция распределения СВ Х имеет вид F(x) = a - b arctg x. Найти плотность распределения вероятностей, определив постоянные a и b.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

11. Изготовленное изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью 0,9, второй - с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что дефектное изделие будет обнаружено?

1) 0,89; 2) 0,87; 3) 0,85; 4) 0,82; 5) 0,79.

12. Ребро куба измерено приближенно, причем . Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (a,b), найти математическое ожидание объема куба.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

13. Условный закон распределения величины Х это:

1) закон распределения величины Х при условии, что величина Y не влияет на Х;

2) закон распределения величины Х при условии, что величина Y приняла определенное значение;

3) закон распределения величины Х при условии, что величина Y не коррелированна с Х;

4) закон распределения величины Х при условии, что величина Х не зависит от Y;

5) закон распределения величины Y при условии, что величина Х приняла определенное значение.

14. В круге x²+y²  R² двумерная плотность вероятности вне круга f(x,y) = 0. Найти постоянную С.

1) C = 3/(2R³); 2) C = 1/(R³); 3) C = 1/R²; 4) C = 3/(5R³); 5) C = 2/(R³).

15. Производиться стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из 3 частей, площади которых равны S₁, S₂ и S₃ соответственно (S₁+S₂+S₃=S). Для попавшего снаряда вероятность попасть в ту или другую часть пропорциональна площади этой части. При попадании в i-ую часть (i =1,2,3) вероятность уничтожения цели равна p_i (i=1,2,3). Определить вероятность уничтожения цели, если известно, что в нее попал 1 снаряд.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

16. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 7 %, причём среди забракованной по признаку А продукции в 4 % случаев встречается дефект В, а в продукции свободной от дефекта А дефект В встречается в 1 % случаев. Найти коэффициент корреляции дефектов А и В.

1) 0,314; 2) 0,297; 3) 0,243; 4) 0,176; 5) 0,111.

17. Среднее потребление электроэнергии в мае в некотором населенном пункте составляет 360 000 кВт^.ч. Оцените с помощью первого неравенства Чебышева вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года в этом населенном пункте превысит 10⁶ кВт^.ч.

1) Р{Х > 10⁶} < 0,36; 2) Р{Х > 10⁶} < 0,68; 3) Р{Х > 10⁶} < 0,54;

4) Р{Х > 10⁶} < 0,80; 5) Р{Х > 10⁶} < 0,77.

18. Найдите плотность распределения случайной величины, имеющей характеристическую функцию

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

19. Плотностью распределения системы п непрерывных случайных величин называется

1) (п+1)-я смешанная производная функции , взятая один раз по каждому аргументу;

2) п-я смешанная производная функции , взятая один раз по каждому аргументу;

3) п-я производная функции ;

4) (п+2)-я смешанная производная функции , взятая один раз по каждому аргументу;

5) нет правильного ответа.

20. Известно, что . Найти закон распределения Y.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

Тест рассмотрен и утвержден на заседании кафедры « 11 » ноября 2008 г. Протокол № 3.

Зав. кафедрой ______________________ В.И. Иванов

ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Тест № 22 по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Направление подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»

Специальность подготовки 010501 «Прикладная математика и информатика»

1. У рыбака имеется 3 любимых места рыбной ловли. Он посещает эти места с одинаковой вероятностью каждое. Если он закидывает удочку в первом месте, то щука клюет с вероятностью p₁; во втором - p₂; в третьем - p₃. Известно, что рыбак за одну рыболовную сессию закидывал удочку 3 раза, а щука клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он рыбачил на любимом месте №1 (с учетом того, что в местных водах ничего, кроме щук не водится).

1) ; 2) ;

3) ; 4)

2. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

1) 0,56; 2) 0,38; 3) 0,27; 4) 0,44; 5) 0,24.

3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность события: сумма выпавших очков равна 5, а произведение – 4.

1) 0,036; 2) 0,067; 3) 0,033; 4) 0,040; 5) 0,056.

4. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 3 выстрелов.

1) 0,045; 2) 0,055; 3) 0,035; 4) 0,025; 5) 0,065.

5. Определить вероятность того, что серия наудачу выбранных облигаций не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

1) 0,302; 2) 0,412; 3) 0,527; 4) 0,396; 5) 0,289.

6. В ящике находится 6 новых теннисных мячей и 4 игранных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращают в ящик. Для следующей игры из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми.

1) 2/105; 2) 28/135; 3) 21/117; 4) 29/169; 5) 128/1350.

7. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение не меньше 3.

1) 0,5; 2) 0,4; 3) 0,6; 4) 0,7; 5) 0,3.

8. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен студент сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Найти математическое ожидание числа экзаменов, сдававшихся поступающими в институт.

1) m_x=3,412; 2) m_x=4,167; 3) m_x=2,532; 4) m_x=2,124; 5) m_x=2,523.

9. Дискретная СВ распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

10. Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 общей массы изделий; второй - 1/3. Надежность прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,95; на втором заводе - 0,75. Определить среднюю надежность прибора, поступившего в продажу.

1) 0,991; 2) 0,800; 3) 0,200; 4) 0,883; 5) 0,009.

11. Какая из представленных матриц может являться ковариационной матрицей переменных, для которых строится уравнение регрессии?

1) 2) 3) 4) 5) 6) .

12. Предприятие состоит из двух подразделений. Месячная прибыль каждого подразделения является нормально распределенной величиной с математическими ожиданиями 30 и 40 тыс. руб. и средними квадратическими отклонениями 5 и 7 тыс. руб., соответственно. Ковариационный момент этих величин равен 9 тыс.руб². Найти среднее квадратическое отклонение прибыли всего предприятия.

1) 10,30; 2) 9,59; 3) 8,49; 4) 7,50; 5) 5,88.

13. Среднее квадратическое отклонение погрешности изменения курса самолета равно . Считая математическое ожидание погрешности измерения равным нулю, оцените с помощью второго неравенства Чебышева вероятность того, что погрешность одного измерения курса самолета превысит .

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

14. Найти закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна

.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

15. Половина поступивших на склад изделий изготовлена на первом заводе, третья часть - на втором заводе, остальные изделия - на третьем. Вероятности производства брака на первом, втором и третьем заводах соответственно равны . Произвольно выбранное изделие оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что это изделие изготовлено на третьем заводе?

1) 1/9; 2) 1/13; 3) 1/9; 4) 4/13; 5) 1/22.

16. Непрерывная двумерная случайная величина распределена равномерно в квадрате с вершина и . Найдите совместную плотность распределения.

1) 2)

3) 4)

5)

17. Теорема Бернулли:

1) Если имеются зависимые случайные величины и если при , то среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их ожиданий;

2) Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в i-ом опыте равна , то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей ;

3) При неограниченном увеличении числа опытов п частота события А сводится к его вероятности ;

4) Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р , то справедливо соотношение ;

5) нет правильного ответа.

18. Двумерная случайная величина (Х₁,Х₂) распределена равномерно в квадрате (0<x₁<1, 0<x₂<1). Найдите математическое ожидание и дисперсию площади Y прямоугольника со сторонами X₁ и X₂.

1) ; 2) ;

3) 4) ; 5) .

19. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найти веро­ятность того, что из 400 студентов работу успешно вы­полнят не менее 180 студентов.

1) 0,4124; 2) 0,4998; 3) 0,4321; 4) 0,0169; 5) 0,8123.

20. Найдите характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей гамма-распределение с параметрами и .

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Тест рассмотрен и утвержден на заседании кафедры « 11 » ноября 2008 г. Протокол № 3.

Зав. кафедрой ______________________ В.И. Иванов

ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Тест № 21 по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Направление подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»

Специальность подготовки 010501 «Прикладная математика и информатика»

1. Имеется пять билетов стоимостью по 1 руб., три билета по 3 руб. и два билета по 5 руб. Наугад берутся три билета. Опре­делить вероятность того, что хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость.

1) 0,15; 2) 0,35; 3) 0,45; 4) 0,95; 5) 0,75.

2. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом.

1) 0,038; 2) 0,042; 3) 0,067; 4) 0,053; 5) 0,049.

3. Стержень длиной l сломан в двух местах. Какова вероятность того, что из этих трех кусочков можно сложить треугольник?

1) 1/2; 2) 1/8; 3) 1/4; 4) 1/6; 5) 1/5.

4. Из колоды в 52 карты берутся 4. Найти вероятность того, что все 4 карты разной масти.

1) 0,798; 2) 0,811; 3) 0,955; 4) 0,895; 5) 0,105.

5. В коробке 5 одинаковых изделий, 3 из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие.

1) 0,5; 2) 0,4; 3) 0,7; 4) 0,6; 5) 0,8.

6. Имеется две партии однородных изделий. Первая партия состоит из 10 изделий, среди которых 2 дефектных. Вторая партия состоит из 20 изделий, среди которых 6 дефектных. Из первой партии берется случайным образом 3 изделия, а из второй -2 изделия. Эти 5 изделий смешиваются и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берется наудачу одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.

1) 0,13; 2) 0,24; 3) 0,38; 4) 0,20; 5) 0,76.

7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15;25).

1) 0,1256; 2) 0,7325; 3) 0,1245; 4) 0,5235; 5) 0,6826.

8. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной СВ (X,Y):

Найти плотность распределения величины Х.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

9. Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Проводится испытание прибора в трех независимых опытах. Вероятность отказа прибора при одной опасной перегрузке равна 0,2; при двух перегруз как равна 0,5; при трех перегрузках равна 0,8. Определить вероятность отка­за прибора в испытании.

1) 0,234; 2) 0,281; 3) 0,846; 4) 0,531; 5) 0,341.

10. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 15 минут, равно 4. Найти вероятность того, что в ближайшие 3 минуты придут ровно 2 клиента.

1) 0,144; 2) 0,267; 3) 0,350; 4) 0,023; 5) 0,203.

11. Из накопителя перед первой технологической операцией детали забираются на обработку регулярно через каждые 10 минут. Из накопителя перед второй технологической операцией детали забираются на обработку регулярно через каждые 30 минут. Найти в процентах коэффициент вариации суммарного времени ожидания детали в накопителях (при случайном ее попадании туда).

1) 20,14; 2) 50,67; 3) 35,35; 4) 60,23; 5) 70,20 6) 45,64.

12. Условная плотность распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y, равна

Найти условную дисперсию .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

13. Сколько нужно провести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?

1)  100; 2)  81; 3)  144; 4)  64; 5)  121.

14. Известно, что события А и В независимы и несовместны. Что можно сказать о вероятностях этих событий?