18. Определить вероятность того, что трехзначный номер первой встретившейся автомашины не содержит одинаковых цифр и цифры шесть.

1) 0,667; 2) 0,336; 3) 0,520; 4) 0,504; 5) 0,426.

19. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен студент сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Найти математическое ожидание числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт.

1) m_x=3,412; 2) m_x=4,167; 3) m_x=2,532; 4) m_x=2,124; 5) m_x=2,523.

20. Цена деления шкалы амперметра равна 0.1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при расчете будет сделана ошибка, превышающая 0.02 А.

1) 0,56; 2) 0,50; 3) 0,33; 4) 0,67; 5) 0,60.

Тест рассмотрен и утвержден на заседании кафедры « 11 » ноября 2008 г. Протокол № 3.

Зав. кафедрой ______________________ В.И. Иванов

ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Тест № 27 по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Направление подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»

Специальность подготовки 010501 «Прикладная математика и информатика»

1. Из последовательности чисел 1,2, ... ,N отобраны n чисел : х₁ < х₂ <...< х_n .

Найти вероятность того, что х_m = M.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. На обслуживающее устройство в промежуток времени [0, 12] должны поступить 2 заявки. Если разность между моментами поступления заявок меньше 2, то вторая заявка теряется. Найти вероятность потери заявки.

1) 0,306; 2) 0,201; 3) 0,471; 4) 0,523; 5) 0,354.

3. Директор компании имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-м списке - фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке - 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была перенесена фамилия женщины?

1) 6/11; 2) 7/11; 3) 8/13; 4) 11/13; 5) 9/28.

4. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% - местные, 30% - по СНГ и 10% - международные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается 1. Чему равна вероятность того, что он прибыл из стран СНГ по делам бизнеса?

1) 0,10; 2) 0,14; 3) 0,18; 4) 0,22; 5) 0,48.

5. Два охотника увидели медведя и одновременно выстрелили по нему. Медведь был убит, и в его шкуре обнаружилась одна пуля. Известно, что первый охотник попадает в цель с вероятностью 0,8, а второй - 0,4. Какова вероятность, что медведя убил первый охотник?

1) 3/7; 2) 1/7; 3) 5/7; 4) 4/7; 5) 6/7.

6. Стрельба заканчивается после третьего попадания по мишени. Найти вероятность того, что при этом будет 5 промахов, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3.

1) 0,095; 2) 0,188; 3) 0,225; 4) 0,333; 5)0,051.

7. Найти дисперсию числа отказов элемента в 15 независимых испытаниях, если вероятность отказа в каждом испытании равна 0,3.

1) 0,315; 2) 0,333; 3) 0,300; 4) 0,450; 5)0,500.

8. Вероятность того, что посетитель страховой компании заключит с ней какой-либо договор, равна 0,35. Сколько посетителей надо обслужить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,9, можно было утверждать, что будет заключен договор?

1) 6; 2) 4; 3) 5; 4)7; 5) 8.

9. Какое из следующих утверждений неверно:

1) Случайные величины  и  называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины  и  называются зависимыми;

2) Для непрерывных случайных величин условие независимости  от  может быть записано в виде: при любом у;

3) Если  зависит от , то . Зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина  не зависит от , то и величина  не зависит от ;

4) Плотность распределения системы независимых случайных величин равна сумме плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему;

5) Все неверные.

10. Двумерная случайная величина (Х₁,Х₂) распределена равномерно в квадрате (0< x₁ < 1, 0< x₂ < 1). Найдите математическое ожидание и дисперсию площади Y прямоугольника со сторонами X₁ и X₂.

1) ; 2) ;

3) 4) ;

5) .

11. Функция распределения СВ X имеет вид F(x) = a - b arctg x.

Найти плотность распределения вероятностей, определив постоянные a и b.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

12. Дискретные независимые СВ заданы своими распределениями:

X	1	3	Y	2	4
P	0,3	0,7	P	0,6	0,4

Найти коэффициент вариации величины Z = X + Y.

1) 0,20; 2) 0,37; 3) 0,25; 4) 0,35; 5) 0,11.

13. Ошибка прибора выражается функцией , где - так называемые первичные ошибки, представляющие собой систему случайных величин, которая характеризуется математическими ожиданиями и корреляционной матрицей . Найти среднее квадратическое отклонение ошибки прибора.

1) 6,2 2) 7,0; 3) 4,7; 4) 3,3; 5) 5,1.

14. Теорема Маркова:

1) Если имеются зависимые случайные величины и если при , то среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их ожиданий;

2) Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в i-ом опыте равна , то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей ;

3) При неограниченном увеличении числа опытов п частота события А сводится к его вероятности ;

4) Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р , то справедливо соотношение ;

5) Нет верного ответа.

15. Вероятность появления некоторого события в каждом из 800 независимых испытаний равна 1/4. Воспользовавшись вторым неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что число Х появлений этого события заключено в пределах от 150 до 250.

1) Р{150  X  250}  0,12; 2) Р{150  X  250}  0,07;

3) Р{150  X  250}  0,88; 4) Р{150  X  250}  0,94;

5) Р{150  X  250}  0, 79.

16. Пусть вероятность того, что пассажир опоздает к отправление поезда, равна 0,02. Найти наивероятнейшее число опоздавших из 856 пассажиров.

1) 21; 2) 13; 3) 15; 4) 24; 5) 17.

17. Независимые случайные величины и распределены по экспоненциальному закону с параметрами и . Найти характеристическую функцию случайной величины .

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

18. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тыс. листков число заказов будет равно 48.

1) 0,085; 2) 0,075; 3) 0,065; 4) 0,093; 5) 0,055.

19. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элемента соответственно равны 0,3, 0,5 и 0,4.

1) 0,31; 2) 0,38; 3) 0,27; 4) 0,44; 5) 0,24.

20. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения

причем и не известны, но , а и . Найдите и .

1) 2) 3) 4) 5)

Тест рассмотрен и утвержден на заседании кафедры « 11 » ноября 2008 г. Протокол № 3.

Зав. кафедрой ______________________ В.И. Иванов

ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Тест № 26 по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Направление подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»

Специальность подготовки 010501 «Прикладная математика и информатика»

1. Вероятность того, что посетитель страховой компании заключит с ней какой-либо договор, равна 0,4. Сколько посетителей надо обслужить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,9, можно было утверждать, что будет заключен договор?

1) 5; 2) 4; 3) 6; 4) 7; 5) 3.

2. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

1) mx=3	xi 0очк 5очк 10очк 15очк pi 0,423 0,287 0,036 0,008 .	2) mx=2	xi 0очк 5очк 10очк 15очк pi 0,12 0,34 0,06 0,001
3) mx=2	xi 0очк 5очк 10очк 15очк pi 0,812 0,84 0,096 0,008	4) mx=3	xi 0очк 5очк 10очк 15очк pi 0,512 0,384 0,096 0,008

3. Вероятность того, что монета диаметром d не пересечет ни одну сторону квадратной сетки равна р. Определить размер сетки.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,5).

1) 0,3; 2) 0,4; 3) 0,6; 4) 0,7; 5)0,5.

5. Дискретные независимые СВ заданы своими распределениями:

X	1	3	Y	2	4
P	0,3	0,7	P	0,6	0,4

Найти коэффициент вариации величины Z = X + Y.

1) 0,20; 2) 0,37; 3) 0,25; 4) 0,35; 5) 0,11.

6. Из колоды в 32 карты берутся 4. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

1) 0,50; 2) 0,43; 3) 0,33; 4) 0,45; 5) 0,36.

7. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

1) 0,334; 2) 0,574; 3) 0,920; 4) 0,656; 5) 0,565.

8. Двумерный случайный вектор распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках , , . Найти условную плотность распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y.

1) 2)

3) 4)

5)

9. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

10. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

1) 0,2; 2) 0,3; 3) 0,4; 4) 0,5; 5) 0,6.

11. Дискретные независимые СВ заданы своими распределениями:

X	5	8	Y	1	7
P	0,2	0,8	P	0,56	0,44

Найти коэффициент вариации величины Z = X + Y.

1) 0,42; 2) 0,35; 3) 0,21; 4) 0,29; 5) 0,54.

12. Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из кораблей придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля составляет три часа, а второго - два часа.

1) 0,30; 2) 0,45; 3) 0,55; 4) 0,20; 5) 0,35.

13. Теорема Бернулли:

1) Если имеются зависимые случайные величины и если при , то среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их ожиданий;

2) Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в i-ом опыте равна , то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей ;

3) При неограниченном увеличении числа опытов п частота события А сводится к его вероятности ;

4) Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р , то справедливо соотношение ;

5) нет правильного ответа.

14. На экзамен пришло 10 студентов, из них 3 отлично подготовленных, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 10 вопросов. Отлично подготовленный студент отвечает на вое вопросы, хорошо подготовленный - на 8, посредственно - на 5, плохо - на 2. Вызванный наугад студент отвечает на 2 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен плохо.

1) 0,0037; 2) 0,9037; 3) 0,0097; 4) 0,1512; 5) 0,0150.

15. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 3 выстрелов.

1)0,045; 2)0,055; 3)0,035; 4)0,025; 5)0,065.

16. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует.

1) m_x=1,7; D_x=1,08; 2) m_x=2,5; D_x=1,25;

3) m_x=1,4; D_x=0,53; 4) m_x=2,1; D_x=2,26; 5) m_x=2,15; D_x=0,36.

17. Условная плотность распределения случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение x, равна . Найти условную дисперсию .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

18. Композиция двух одинаковых равномерно распределенных СВ дает распределение: