1) Только при ; 2) может; 3) только при ;

4) Не может; 5) верного ответа нет.

15. Один станок дает в среднем 3% брака, другой – 5%. Производительности станков одинаковы. Каков коэффициент вариации числа бракованных изделий в общей продукции из 100 деталей?

1) 0,2; 2) 0,3; 3) 0,4; 4) 0,8; 5) 0,5.

16. Сопротивление двух последовательно соединенных резисторов равномерно распределены в диапазоне 100 - 120 Ом. Найти вероятность того, что сопротивление всей цепи превысит 220 Ом.

1) 0,80; 2) 0,68; 3) 0,75; 4) 0,50; 5) 0,60.

17. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность менее трех.

1) 0,44; 2) 0,60; 3) 0,68; 4) 0,53; 5) 0,22.

18. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

1) 0,0715; 2) 0,9175; 3) 0,4731; 4) 0,7813; 5) 0,0956.

19. Среднее квадратическое отклонение погрешности изменения курса самолета равно . Считая математическое ожидание погрешности измерения равным нулю, оцените с помощью второго неравенства Чебышева вероятность того, что погрешность одного измерения курса самолета превысит .

1) 0; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 0.

20. Вероятность того, что слово введено оператором неверно, равна 0.1. Найти вероятность того, что из 200 слов правильно будет введено не меньше 180.

1) 0,5591; 2) 0,6572; 3) 0,6231; 4) 0,7133; 5) 0,6089.

Тест рассмотрен и утвержден на заседании кафедры « 11 » ноября 2008 г. Протокол № 3.

Зав. кафедрой ______________________ В.И. Иванов

ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Тест № 3 по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Направление подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»

Специальность подготовки 010501 «Прикладная математика и информатика»

1. В ящике 5 чистых и 7 отмеченных маркой ОТК (штампом) деталей. Из них наудачу извлекаются 3 детали, маркируются и снова возвращаются в ящик. После этого вновь случайно извлекаются из ящика 2 детали. Определить вероятность того, что обе детали чистые.

1) 0,04; 2) 0,03; 3) 0,01; 4) 0,05; 5) 0,02.

2. Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной а. Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали квадрата.

1) 0,54; 2) 0,36; 3) 0,41; 4) 0,29; 5) 0,32.

3. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове 0,02. Поступило 100 вызовов. Определить вероятность восьми сбоев.

1) 0,001; 2) 0,002; 3) 0,003; 4) 0,004; 5) 0,005.

4. Исследователь рынка заинтересован в проведении интервью с супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам товаров. Он приходит по выбранному адресу, попадает в трехквартирный дом и по надписям на почтовых ящиках выясняет, что в 1-й квартире живут двое мужчин, во 2-й - супружеская пара, в 3-й - две женщины. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выбранную дверь и на его звонок выходит женщина. Мужчины и женщины имеют равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, определите вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.

1) 1/3; 2) 1/4; 3) 1/5; 4) 1/2; 5) 1/13.

5. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,5).

1) 0,3; 2) 0,4; 3) 0,6; 4) 0,7; 5)0,5.

6. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

1) m_x=0,15; D_x=0,46; 2) m_x=0,55; D_x=0,66;

3) m_x=0,40; D_x=0,36; 4) m_x=0,85; D_x=0,26; 5) m_x=0,50; D_x=0,18.

7. Вероятность того, что стрелок попадет в цель, равна 0,6. Сколько потребуется ему попыток, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,9, можно было утверждать, что цель будет поражена?

1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 5; 5) 6.

8. Система двух случайных величин имеет закон распределения в виде при 0 ≤ ≤ 1; 0 ≤ ≤ 1. Найти уравнение регрессии .

1) задача не имеет решения; 2) = ;

3) = ; 4) = ; 5) = .

9. Известно, что . Найти закон распределения Y.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

10. Две величины независимы, если

1) корреляционное отношение между ними равно нулю;

2) коэффициент корреляции между ними равен нулю;

3) их законы распределения не зависят от того, какое значение приняла другая величина;

4) коэффициент корреляции между ними равен единице;

5) они имеют нормальные законы распределения.

11. Вес гайки и болта являются нормально распределенными величинами с математическими ожиданиями 10 и 40 гр.и средними квадратическими отклонениями 2 и 5 гр., соответственно. Ковариационный момент этих величин равен 7 гр.². Найти среднее квадратическое отклонение веса всего узла «гайка + болт».

1) 6,56; 2) 7,00; 3) 7,70; 4) 7,49; 5) 9,09.

12. Ошибка прибора выражается функцией , где - так называемые первичные ошибки, представляющие собой систему случайных величин, которая характеризуется математическими ожиданиями и корреляционной матрицей . Найти среднее квадратическое отклонение ошибки прибора.

1) 6,12; 2) 7,28; 3) 5,94; 4) 6,93; 5) 8,08.

13. Теорема Бохнера-Хинчина гласит:

1) любая положительно определенная функция q(t) может быть ХФ;

2) любая положительно определенная функция q(t), у которой q(0) = 1, может быть ХФ;

3) любая функция q(t), у которой q(0) = 1, может быть ХФ;

4) любая положительно определенная функция q(t), у которой q(1) = 0, может быть ХФ;

5) нет правильного ответа.

14. Три станка, производительности которых соотносятся как 4:3:1, производят детали на общий конвейер. Определить вероятность того, что из 260 деталей, взятых случайным образом с конвейера, деталей, произведенных первым станком будет от 60 до 80.

1) 0,002; 2) 0,001; 3) 0,003; 4) 0,004; 5) 0,005.

15. Характеристическая функция СВ Х это:

1) преобразование Фурье величины Х для перехода в комплексную область ее значений;

2) функция взаимосвязи центральных и начальных моментов СВ Х;

3) функция, обеспечивающая вычисление основных характеристических законов распределения СВ Х по ее центральным моментам;

4) математическое ожидание величины , рассматриваемое как комплексная функция действительной переменной t ;

5) верного ответа нет.

16. Может ли функция , где [t]- целая часть числа t, являться характеристической фунцией некоторой случайной величины?

1) не может; 2) может;

3) только при t > 1; 4) только при  0 < t < 1; 5) верного ответа нет.

17. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? (ничьи в расчет не принимаются).

1) p₄₂ = p₆₃; 2) p₄₂ < p₆₃; 3) p₄₂ > p₆₃; 4) задача не имеет решения.

18. Дан ряд распределения случайной величины Х

		2	4

Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,5, а исходы x₁, x₂ образуют полную систему ( ).

1) 2)

3) 4)

19. Средний ежедневный расход воды в некотором населенном пункте составляет 50 000 л. Оценить с помощью первого Чебышева вероятность того, что в произвольно выбранный день расход воды в этом пункте превысит 150 тысяч литров.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

20. Имеется n урн, в каждой из которых a белых и b черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают 1 шар; затем из 2 в 3 один шар; … Наконец, из последней урны извлекается шар. Найти вероятность того, что он белый.

1) a / (a+b); 2) ; 3) a² / (a+b)³; 4) 1 / (a+b); 5) a / b².

Тест рассмотрен и утвержден на заседании кафедры « 11 » ноября 2008 г. Протокол № 3.

Зав. кафедрой ______________________ В.И. Иванов

ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Тест № 2 по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Направление подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»

Специальность подготовки 010501 «Прикладная математика и информатика»

1. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

1) 0,45; 2) 0,30; 3) 0,50; 4) 0,20; 5) 0,25.

2. Вероятность того, что монета диаметром d не пересечет ни одну сторону квадратной сетки равна р. Определить размер сетки.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

3. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 среди них оказалось не менее 60 бракованных?

1) 1410; 2) 1320; 3) 1900; 4) 1250; 5) 1482.

4. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью - 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

1) 0,1712; 2) 0,8809; 3) 0,7923; 4) 0,8585; 5) 0,0041.

5. Найти закон распределения случайной величины X, характеристическая функция которой равна .

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

6. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

1) mx=0,5 Dx=0,45	xi 5 т. р. 4 т. р. 3 т. р. 2 т. р. 1 т. р. 0 т.р. pi 0,00001 0,00045 0,00810 0,07290 0,328050 0,59049
2) mx=0,6 Dx=0,47	xi 5 т. р. 4 т. р. 3 т. р. 2 т. р. 1 т. р. 0 т.р. pi 0,03101 0,00545 0,00810 0,07290 0,528050 0,69049
3) mx=0,7 Dx=0,49	xi 5 т. р. 4 т. р. 3 т. р. 2 т. р. 1 т. р. 0 т.р. pi 0,00021 0,00045 0,00710 0,07290 0,328050 0,58056
4) mx=0,8 Dx=0,51	xi 5 т. р. 4 т. р. 3 т. р. 2 т. р. 1 т. р. 0 т.р. pi 0,00001 0,00045 0,00910 0,08290 0,328050 0,59049

7. Вероятность того, что посетитель страховой компании заключит с ней какой-либо договор, равна 0,35. Сколько посетителей надо обслужить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,9, можно было утверждать, что будет заключен договор?

1) 6; 2) 4; 3) 5; 4)7; 5) 8.

8. Непрерывная двумерная случайная величина распределена равномерно в квадрате с вершинами и . Найдите вероятность попадания случайного вектора в круг .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

9. Предприятие состоит из двух подразделений. Месячная прибыль каждого подразделения является нормально распределенной величиной с математическими ожиданиями 350 и 400 тыс. руб. и средними квадратическими отклонениями 30 и 50 тыс. руб., соответственно. Ковариационный момент этих величин равен 70 тыс. руб.² Найти коэффициент вариации прибыли всего предприятия.

1) 0, 111; 2) 0,088; 3) 0,075; 4) 0,067; 5) 0,333.

10. При каких значениях параметров А и В функция F(x) = A+Be^-x может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х.

1) A=1, B=1; 2) A=1, B=-1; 3) A=-1, B=1;

4) A=-1, B=-0; 5) A= 0, B=-1.

11. Композиция двух законов Пуассона дает распределение: