17.Вращательное движение абсолютно твердого тела. Момент инерции. Вычисление моментов инерции сплошного цилиндра, полого цилиндра, шара, стержня.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до рассматриваемой оси: I_i=m_i*r_i.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: I=∑m_i*r_i².(i=1..n)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу I=∫r²*dm,

Где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x,y,z.

Найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dI=r²*dm, где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объём 2π*r*h*dr . Если ρ - плотность материала, то dm=2π*r*h*ρ*dr и dI=2π*r³*h*ρ*dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра I=∫dI=2π* h*ρ₀∫^Rr³*dr= ½*π*R⁴*h*ρ*,

Но так как π*R²*h - объём цилиндра, то его масса m=π*R²*h* ρ, а момент инерции I=1/2*m*R².

Момент инерции стержня, массы m, длины l

r- расстояние от оси вращения до данной точки.

I=∫r²*dm=₀∫^lx²sin²α*m/l*dx= l³/3*sin²α*m/l=(m* l²*sin²α)/3,

Если ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец, тогда момент инерции равен I=(m* l²)/3.

Момент инерции шара I=1/2∫x²*dm=1/2*_-R∫^Rπ* x⁴* ρ*dy=1/2*πρ* _-R∫^R (R²-y²)²dy= 2/5*m*R²

dm=π* x²* ρ*dy, x²=R²-y²,V=4/3*π*R³, m=ρ*V.

18.Теорема Штейнера-Гюйгенса. Кинетическая энергия вращения.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера-Гюйгенса: момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту инерции I_C относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: I=I_C+ma².

OZ^’ - oсь вращения; С – центр масс; r_i=a+r_Ci

I=∑Δm_ir_i²=∑Δm_i(a+r_Ci)²=∑Δm_i* a²+2∑Δm_i*a*r_Ci+∑Δm_i* r_Ci²

I_C=∑Δm_i* r_Ci²; ∑Δm_i* a²=ma².

∑Δm_i* r_Ci pавна произведению массы тела на радиус центра масс r_c, который проведен от оси OZ до этого центра. Так как оси проходят через центр масс, то r_C=0.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси , проход. через него (рис1). Мысленно разобьем это тело на маленькие объёмы с элементарными массами m₁,m₂,…,m_n, находящиеся на расстояния r₁,r₂,…,r_n от оси. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы массами m_i опишут окружности различных радиусов r_i и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

ω=v₁/r₁=v₂/r₂=…=v_n/r_n. (1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

T_bp=m₁v₁²/2+m₂v₂²/2+…+m_nv_n²/2 или T_bp=∑ m_i*v_i²/2 (i=1..n)

Используя выражение (1), получим

T_bp=∑ m_i*ω²/2*r_i²= = ω²/2∑ m_i*r_i²= I_zω²/2 (i=1..n)

Где I_z– момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

T _bp= I_zω²/2 (2)

Из сравнения формулы (2) с выражением T=mv²/2 для кинетической энергии тела, движущегося поступательно, следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: T=mv_С²/2+I_Сω²/2

где m - масса катящегося тела; v_C - скорость центра масс тела; I_C - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω - угловая скорость тела.