15.Закон сохранения энергии. Графическое представление энергии.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁,m₂ , … ,m_n движущихся со скоростями v₁,v₂,…, v_n . Пусть F^’₁,F^’₂,…,F^’_n – равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а F₁,F₂...,F_n - равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того будем считать , что на материальные точки действуют ещё и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f₁,f₂,…,f_n. При v<<c массы материальных точек постоянны и уравнение второго закона Ньютона для этих точек следующие: m₁*dv₁/dt= F^’₁+ F₁+ f₁,

m₂*dv₂/dt= F^’₂+ F₂+ f₂,

………………………,

m_n*dv_n/dt= F^’_n+ F_n+ f_n.

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr₁,dr₂,…,dr_n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr_i=v_i*dt, получим m₁(v₁dv₁)- (F^’₁+ F₁)dr₁= f₁dr₁,

m₂(v₂dv₂)- (F^’₂+ F₂)dr₂= f₂dr₂,

……………………………..,

m_n(v_ndv_n)- (F^’_n+ F_n)dr_n= f_ndr_n.

Сложив эти уравнения, получим ∑ m_i(v_idv_i)-∑ (F^’_i+ F_i)dr_i =∑ f_idr_i. (i=1..n). (1)

Первый член левой части равенства (1) ∑ m_i(v_idv_i)=∑d(m_i v_i² /2)=dT, i=1..n

где dT - приращение кинетической энергии системы. Второй член ∑(F^’_i+ F_i)dr_i (i=1..n) равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы.

Правая часть равенства (1) задаёт работу внешних не консервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем d(T+П)=dA. (2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2 ₁∫²d(T+П)=A₁₂,

т.е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют , то из (2) следует, что d(T+П)=0, Откуда T+П=E=const, (3)

т.е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной, т.е. П=П(х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Будем рассматривать только консервативные системы, т.е. системы, в которых взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме Т+П=Е. Рассмотрим графическое представление потенциальной энергии для тела в однородном поле тяжести и для упругодеформированного тела.

Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью земли, П(h)=mgh. График данной зависимости П=П(h) – прямая линия, проходящая через начало координат (рис.1), угол наклона которой к оси h тем больше, чем масса тела.

Пусть полная энергия тела равна Е. На высоте h тело обладает потенциальной энергией П, которая определяется отрезком вертикали, заключенный между точкой h на оси абсцисс и графиком П(h). Естественно, что кинетическая энергия Т задается ординатой между графиком П(h) и горизонтальной прямой ЕЕ. Из (рис.1) следует, что если h=h_max, то Т=0 и П=Е=mgh_max,т.е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.

Из приведенного графика можно найти скорость тела на высоте h: Т=Е-П, т.е. mv²/2= mgh_max-mgh,

О ткуда v=sqrt(2g(h_max-h). Зависимость потенциальной энергии упругой деформации П=kx²/2 от деформации х имеет вид

параболы (рис.2),

где график заданной полной энергии тела Е – прямая, параллельная оси абсцисс х, а значение Т и П определяются так же, как на рис.1. Из рис.2 следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия тела возрастает, а кинетическая – уменьшается. Абсцисса x_max определяет максимально возможную деформацию растяжения тела, а -x_max - максимально возможную деформацию сжатия тела. Если x=±x_max, то Т=0 и П=Е=kx²_max/2 , т.е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.

Из анализа графика на рис.2 вытекает, что при полной энергии тела, равной Е, тело не может сместится правее x_max и левее -x_max , так как кинетическая энергия не может быть отрицательной и, сл-но, потенциальная энергия не может быть больше полной энергии. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальной яме с координатами -x_max≤x≤x_max .

В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами рис.3. Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е – заданная полная энергия частицы, то частица может находится только там, где П(х)<=Е, т.е. в областях 1и 3. Переходить из области 1 в 3 и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьер CDG , ширина которого равна интервалу значений х , при которых Е<П,а его высота определяется разностью П_max–E. Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области 1 частица с полной энергией Е оказывается запертой в потенциальной яме АВС и совершает колебания между точками с координатами x_a и x_c .

В точке В с координатой х₀ потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила F_x=-dП/dx, а условие минимума потенциальной энергии dП/dx=0, то в точке В-F_x=0. При смещении частицы из положения х₀ она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение х₀ является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки х₀^’ (для П_max ). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при смещении частицы из положения х^’₀ появляется сила, стремящаяся удалить ее от этого положения.