11.Механическая система. Импульс механической системы. Закон сохранения импульса.

Совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой(или изолированной)

Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тел, масса и скорость которых соответственно равны m₁,m₂ , … ,m_n и v₁,v₂, … ,v_n . Пусть F^’₁,F^’₂,…,F^’_n – равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а F₁,F₂...,F_n - равнодействующие внешних сил. Запишем закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

d/dt(m₁*v₁)= F^’₁+ F_1,

d/dt(m₂*v₂)= F^’₂+ F_2,

_{………………………………,}

d/dt(m_n*v_n)= F^’_n+ F_n .

Складывая почленно эти уравнения, получим d/dt(m₁*v₁ + m₂*v₂ +…+ m_n*v_n)= F^’₁+ F^’₂ +…+ F^’_n +F₁ + F₂ + …+ F_n .

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

d/dt(m₁*v₁ + m₂*v₂ +…+ m_n*v_n)=F₁ + F₂ + …+ F_n ,

или dp/dt= F₁ + F₂ + …+ F_{n ,} (1)

где p= m₁*v₁ + m₂*v₂ +…+ m_n*v_n - импульс системы. Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. В случае отсутствия внешних сил (расм. замкнутую систему) dp/dt=d/dt(m₁*v₁ + m₂*v₂ +…+ m_n*v_n )=0,т.е p= m₁*v₁ + m₂*v₂ +…+ m_n*v_n= const.

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.Закон сохранения импульса является следствием определенного св-ва симметрии пр-ва – его однородности. Однородность пр-ва заключается в том, что при параллельном переносе в пр-ве замкнутой системы тел как целого её физические св-ва и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора начала координат инерциальной системы отсчета.Согласно (1) импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

12. Центр масс. Центр тяжести механической системы. Закон движения центра масс.

Центром масс системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен r_C=(m₁* r₁+m₂*r₂+…+m_n*r_n)/m,

где m _i, r_i - соответственно масса и радиус-вектор i–й материальной точки; n- число материальных точек в системе; m=m₁+m₂+…+m_n - масса системы. Скорость центра масс v_C =dr_C/dt=(m₁*d r₁/dt+m₂* d r₂/dt +…+m_n* d r_n/dt)/m=

(m₁* v₁+m₂*v₂+…+m_n*v_n)/m. Учитывая, что p_i=m_i* v_i ,а p₁+p₂+…+p_n есть импульс p системы, можно написать

p=m*v_C, (1)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс.

Подставив выражение (1) в уравнение dp/dt= F₁ + F₂ + …+ F_n, получим m*dv_C/dt=F₁ + F₂ + …+ F_n (2)

т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (2) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (1) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остаётся неподвижным.