66. Закон Ома в дифференциальной форме и для неоднородного участка цепи.

*** Закон Ома: .

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления в закон Ома , получим, (1), где величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электрической проводимостью вещества проводника. Её единица измерения – сименс на метр (См/м). Учитывая, что , - напряжённость электрического поля в проводнике, (2) - плотность тока, формулу (1) можно записать в виде . Т.к. в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора , то направления и совпадают. Поэтому формулу (2) можно записать в виде (3). Выражение (3) - закон Ома в дифференциальной форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряжённостью электрического поля в этой же точке.

Мы рассмотрели закон Ома для однородного участка цепи, т.е. такого, в котором не действует ЭДС. Теперь рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую ЭДС на участке 1-2 обозначим через , а приложенную на концах участка разность потенциалов – через .

Работа сил, совершаемая при перемещении заряда равна (4).

ЭДС , как и сила тока I, - величина скалярная. Её необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. , если ЭДС способствует движению положительных зарядов в данном направлении, , если наоборот.

За время t в проводнике выделяется теплота (5). Из (4) и (5) получим , откуда (6). Выражение (6) – закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который является обобщённым законом Ома.

Если на данном участке цепи =0, то из (6) приходим к закону Ома для однородного участка цепи . Если же электрическая цепь замкнута, то . Тогда из (6) получаем закон Ома для замкнутой цепи: (7), где R- суммарное сопротивление всей цепи, т.е. где - внутреннее сопротивление источника тока, - сопротивление внешней цепи. Выражение (7) примет вид

. Если цепь разомкнута (I=0), то из (6) получаем, что .

67. Разветвлённые цепи. Правила Кирхгофа для разветвлённых цепей.

Обобщённый закон Ома позволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчёт разветвлённых цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока ит.д.) довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Кирхгофа.

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трёх проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, - отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е. .

При наличии в соединении n – узлов необходимо рассмотреть (n-1)-узел. (Рисунок).

Второе правило Кирхгофа. Второе правило Кирхгофа получается из обобщённого закона Ома для разветвлённых цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трёх участков (рисунок). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Всё токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода – отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома , можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, получим (1).

Уравнение (1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре , произвольно выбранном в разветвлённой электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС , встречающихся в этом контуре:

. (2).

При расчёте сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведение положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против – отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин; каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

68. Работа электрического тока.

Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U. За время через сечение проводника переносится заряд . Т.к. ток представляет собой перемещение заряда под действием электрического поля, то, по формуле , работа тока (1). Если сопротивление проводника R, то, используя закон Ома , получим (2). Тогда . Работа тока выражается в джоулях.

69. Мощность тока.

Из формул (1) и (2) следует, что мощность тока .

Мощность измеряется в ваттах.

Мощность тока во всей внешней цепи при любом соединении равна сумме мощностей на отдельных участках цепи, т.е. .Последовательное соединение: , . Тогда . Параллельное соединение: , . Тогда

70. Закон Джоуля – Ленца в интегральной и дифференциальной формах.

*** (1*), (2*)

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идёт на нагревание и, по закону сохранения энергии, (1). Т.о., используя выражения (1), (1*), (2*), получим , откуда (2). Выражение (2) – закон Джоуля – Ленца в интегральной форме.

Количество тепла, выделенного током в проводнике, прямо пропорционально сопротивлению проводника, квадрату силы тока и времени его прохождения.

Последовательное соединение проводников: , , . Количество теплоты, выделенного током в каждом проводнике, при последовательном соединении прямо пропорционально сопротивлению этих проводников.

Параллельное соединение: , , . Количество тепла, выделенного током в параллельно соединённых участках цепи без ЭДС, обратно пропорционально сопротивлению этих участков.

Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объём (ось цилиндра совпадает с направлением тока), сопротивление которого . По закону Джоуля – Ленца, за время в этом объёме выделится теплота .

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объёма, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна . Используя дифференциальную форму закона Ома ( ) и соотношение , получим (*). Формула (*) - Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

103