47

две силы R′ и R1 уравновешиваются, так как R′ = - R1 , и рассматриваемая система сил приводится только к одной силе R, равной главному вектору R′ и приложенной в точке А. Эта сила является равнодействующей заданной системе сил (рис. 6. 3, в).

Таким образом, если силы, произвольно расположенные на плоскости, не уравновешиваются, то их можно привести или к одной силе или к паре сил.

6. 4. Уравнения равновесия плоской произвольной системы сил

Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:

где Rх′ = ∑ Хi , R у′ = ∑ Уi . Но R′ может равняться нулю только тогда, когда одновременно Rх′ = 0 и Rу′= 0. Следовательно, условия (6. 1) будут выполнены, если:

достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей в плоскости их действия и сумма моментов всех сил относительно любой точки на плоскости равнялись нулю. Так как оси прямоугольных координат выбираются произвольно и точка О – любая точка плоскости, то для полученной системы уравнений равновесия (6. 1) ограничения отсутствуют. Поэтому такая система уравнений равновесия является основной.

2. Вторая форма уравнений равновесия.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно любых двух точек А, В на плоскости и сумма их проекций на ось ОХ, не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

3. Третья форма уравнений равновесия.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех точек А, В, С на плоскости, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

49

Докажем справедливость уравнений равновесия (6. 2), (6. 3), (6. 4). Рассмотрим систему уравнений (6. 3).

Если имеет место уравнение ∑ МА (Рi) = 0, то главный момент системы сил, когда за центр приведения выбрана точка А, равен нулю и система сил или находится в равновесии или приводится к равнодействующей R′, линия действия которой должна проходить через точку А.

Из уравнения ∑ МА (Рi) = 0 следует, что главный момент системы сил равен нулю, а если равнодействующая R′ отлична от нуля, то ее линия действия должна проходить через центр приведения – точку В.

При выполнении двух первых уравнений системы следует, что система сил или находится в равновесии, или приводится к равнодействующей, причем ее линия действия должна проходить по прямой АВ.

Из третьего уравнения системы ∑Хi = 0 следует, что проекция равнодействующей Rх′ = 0, и если ось Х не перпендикулярна АВ, то это возможно лишь только в том случае, когда равнодействующая R′ = 0.

Таким образом, система уравнений является системой уравнений равновесия.

Рассмотрим систему уравнений (6. 4).

При выполнении двух первых уравнений системы (как было показано) следует, что система сил или находится в равновесии или приводится к равнодействующей R′, линия действия которой совпадает с прямой АВ. Из третьего уравнения системы ∑МС(Рi) = 0 следует, что момент равнодействующей R′ относительно точки С должен равняться нулю. Это возможно лишь в том случае, когда равнодействующая R′ = 0 (мы предположили, что точка С не должна лежать на прямой АВ).

Таким образом, полученные выражения являются системой уравнений равновесия для сил, произвольно расположенных на плоскости (при принятом ограничении выбора моментных точек).

6. 5. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил

Систему n параллельных сил (Р1, Р2, … Рn), лежащих в одной плоскости, можно рассматривать как частный случай плоской произвольной системы сил. Выбрав одну из осей прямоугольных координат (например, ось у) параллельной линии действия сил рассматриваемой системы, из уравнений равновесия (6. 2) получаем только два уравнения равновесия:

причем прямая АВ не должна быть параллельна линии действия сил.

50

6.6. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей плоской системы сил

Докажем, что если плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно любой точки, лежащей в плоскости действия данных сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Определим момент равнодействующей силы R′, приложенной в точке А, относительно произвольно выбранного центра приведения О (рис. 6. 3, в).

М0

Из этой теоремы следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.

6. 7. Статически определимые и статически неопределимые задачи

Различают задачи статически определимые, которые можно решать методами статики твердого тела, и задачи статически неопределимые, которые могут быть решены, если принять во внимание упругие свойства тела и возникающие в нем деформации. Но так как решение последних задач выходит за пределы статики абсолютно твердого тела, то эти задачи рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики.

Статически определимыми будем называть задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия статики для данной системы сил.

При равновесии плоской системы произвольно расположенных сил, приложенных к твердому телу, можно составить три уравнения равновесия, а для уравновешенной системы параллельных сил только два уравнения равновесия. В первом случае задача будет статически определимой, если число неизвестных не превышает трех, во втором случае число неизвестных задачи не должно быть больше двух.

В противном случае задача становится статически неопределимой, так как число уравнений равновесия статики окажется меньше числа неизвестных.

Балка (рис. 6. 5, а) имеет связь в виде жесткой заделки. Реакции заделки представляют собой силы, которые приводятся к силе RА (препятствующей перемещению балки) и реактивной паре сил с моментом МА (препятствующей вращению балки вокруг закрепленного конца). Так как неизвестна RА, то ее заменяем составляющими ХА и УА. Таким образом, неизвестными,

51

подлежащими определению, являются ХА , УА и МА. Для определения неизвестных имеем 3 уравнения равновесия статики. Число неизвестных равно числу уравнений равновесия, следовательно, задача является статически определимой.

Ферма (рис. 6.5, б) имеет шарнирно неподвижную связь А. Линия действия RА неизвестна. Поэтому при решении задачи ее заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими ХА и УА. Связь В выполнена шарнирно подвижной. Линия действия реакции RВ известна, она пройдет перпендикулярно плоскости катания.

Таким образом, число неизвестных, подлежащих определению, равно трем (ХА, УА и RВ), что соответствует числу уравнений равновесия статики. Следовательно, задача является статически определимой.

Балка, показанная на рис. 6. 5, в, также является статически определимой на основании рассуждений, приведенных для фермы (рис. 6. 5, б).

Балка (рис. 6. 5, г) имеет шарнирно неподвижные опорные связи А и В. Так как линия действия реакций RА и RВ заранее неизвестны, то их заменяем

составляющими ХА , УА и ХВ, УВ. Число уравнений равновесия статики равно трем. Так как число неизвестных превышает число уравнений равновесия, задача является статически неопределимой.

Балка (рис. 6. 5, д) имеет три шарнирно неподвижные связи. На балку действует система параллельных сил. Поэтому горизонтальные составляющие опорных реакций ХА , ХВ и ХС будут заведомо равны нулю. Неизвестными

будут только вертикальные составляющие УА = RА, УВ = RВ, УС = RС . Таким образом, число неизвестных, подлежащих определению, равно трем. Для системы параллельных сил имеем два уравнения равновесия статики. Число неизвестных превышает число уравнений равновесия, следовательно, задача является статически неопределимой.

Балка (рис. 6. 5, е) имеет шарнирно неподвижную связь А. Так как линия действия реакции RА неизвестна, то ее заменяем двумя составляющими ХА и УА. В точке В и С балка закреплена двумя стержнями. Стержень шарнирно закреплен с балкой и основанием. Линия действия реакции таких связей проходит по линии, соединяющей шарниры. Таким образом, число неизвестных, подлежащих определению, равно четырем (ХА , УА и Т1, Т2). Число уравнений равновесия для определения неизвестных равно трем. Число неизвестных превышает число уравнений равновесия статики, следовательно, задача является статически неопределимой.