53

6. 8. Примеры решения задач на равновесие плоской произвольно расположенной системы сил

При решении рассматриваемой задачи рекомендуется придерживаться следующей последовательности:

1)выбрать тело, равновесие которого будет рассматриваться;

2)приложить к нему все активные силы, заменив распределенную нагрузку равнодействующей сосредоточенной силой;

3)выбрать систему координат и заменить отброшенные связи их реакциями;

4)составить уравнения равновесия и определить из них неизвестные опорные реакции;

5)проверить правильность решения задачи.

Пример 6. 1

Определить опорные реакции балки от заданной нагрузки при следующих данных: α = 45°; l = 2,0 м; Р = 10 кН; Q = 6 кН; М = 8 кНм. Схема балки показана на рис. 6. 6.

Решение:

На балку действует пара с моментом М, силы Р и Q. Действие груза на балку – силу Т покажем приложенной в точке В и направленной вдоль троса. Так как идеальный блок изменяет лишь направление действия силы, сохраняя неизменным ее модуль, то сила Т = Q. Применяя принцип освобождаемости от связей, заменим действие связей на балку их реакциями. Реакцию А направим вдоль стержня СД. На балку действует система произвольно расположенных сил, поэтому направление реакции связи А заранее неизвестно, ее представим в виде двух составляющих ХА и УА, направленных вдоль осей координат х и у.

Составим уравнения равновесия для плоской системы сил:

∑Хi = 0 ; ХА + S Cos (90° - α) = 0 ;

∑Уi = 0 ; УА + Q – P + S Sin α = 0;

Р. АВ

∑МА (Рi) = 0 ; ---------- Cosα - S . АС – Т . АВ . Соsα + М = 0.

2

Из решения системы трех алгебраических уравнений определим неизвестные:

ХА = - 1,22 кН ; УА = 2,78 кН ; S = 1,72 кН

Знак минус у реакции ХА указывает, что ее направление необходимо сменить на противоположное принятому.

Для проверки правильности решения задачи выбираем произвольную точку В и составляем уравнение равновесия статики в виде ∑ МВ (Рi) = 0.

∑ МВ (Рi) = 0 ; М + S . 1 – Р . 2 Соs 45° + УА . 4 Соs 45° + ХА . 4 Sin 45° = 0

54

√2 √2 √2 8 + 1,721 – 10 . ----- + 2,78 . 4 ----- - 1,22 . 4 ----- = 0

2 2 2

17,58 – 17,58 = 0

Пример 6. 2

Определить опорные реакции в раме от заданной нагрузки при следующих данных: α = 60°; l = 2,0 м; Q = 5 кН; М = 2 кНм; q = 2 кН/м. Схема балки показана на рис. 6. 7.

Решение:

Равномерно распределенную нагрузку заменим равнодействующей

R = q . ВД = 2 . 2 = 4 кН

Действие груза на раму – силу Т покажем приложенной в точке С и направленной вдоль троса, по модулю равной весу груза Q. Так как связь осуществляется с помощью жесткой заделки, то реакция заделки в точке А приводится в силе RА = ХА + УА и к реактивной паре с моментом МА.

Освобождаемся от связей, и заменяя их действие на раму реакциями связей, будем иметь неизвестные реакции связи ХА , УА, и МА.

Составляем уравнения равновесия для плоской системы сил произвольно расположенных сил.

∑Хi = 0 ; ХА + R - Р Cos α = 0 ;

∑Уi = 0 ; УА + Т Sin α = 0 ;

∑МА (Рi) = 0 ; МА – R . 3 – М + Т Cosα . 4 + Т . Sinα . 2 = 0

Из решения системы уравнений равновесия определяем составляющие реакции RА и реактивный момент МА.

ХА = - 1,5 кН ; УА = - 4,33 кН ; МА = - 4,66 кНм Знак минус у составляющих ХА , УА, и МА указывает на то, что истинное

направление их противоположно принятому в решении. Для проверки правильности решения задачи составим уравнение равновесия в виде ∑ МС (Рi)

=0, где точка С произвольно выбранная точка.

∑МС (Рi) = 0 ; - УА . 2 + ХА . 4 + МА + R . 1 - М = 0 ; 4,33 . 2 - 1,5 . 4 – 4,66 + 4 – 2 = 0 ;

12,66 – 12,66 = 0.

Пример 6. 3

Определить опорные реакции в рамах, показанных на рис. 6. 8 – 6. 11 от заданной нагрузки при следующих данных: α = 60°; l = 4,0 м; Р = 10 кН; М = 2 кНм; q = 4 кН/м самостоятельно.