36

5.4. Сложение пар сил на плоскости

Теорема

Система пар сил, действующая на тело, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Пусть на твердое тело действуют три пары сил (Р1, Р1′), (Р2, Р2′), (Р3, Р3′) (рис. 5. 9), расположенные в одной плоскости. Моменты этих пар:

М1 = Р1 . d1 , М2 = Р2 . d2, М3 = - Р3 . d3

Выберем произвольный отрезок АВ длиной d в той же плоскости и заменим заданные пары эквивалентными (Q1, Q1′), (Q2, Q2′), (Q3, Q3′) с общим плечом d.

Найдем модули сил эквивалентных пар из соотношений

М1 = Р1 . d1 = Q1 . d, М2 = Р2 . d2 = Q2 . d, М3 = - Р3 . d3 = - Q3 . d .

Сложим силы, приложенные к концам отрезка АВ и найдем модуль их равнодействующей:

R = Q1 + Q2 - Q3

R′ = - R = (-Q′1 - Q′2 + Q′3)

Равнодействующие R и R′ составляют результирующую пару эквивалентную системе заданных пар.

Момент этой пары:

М = R . d = (Q1 + Q2 - Q3) d = Q1 . d + Q2 . d - Q3 . d = М1 + М2 + М3

Если на тело действует «n» пар, то момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар:

n

М = ∑ Мi

i=1

Уравновешивающей называется пара, момент которой равен по абсолютной величине моменту результирующей пары, но противоположен по направлению.

Пример 5.1

Определить момент результирующей пары для трех заданных пар (рис. 5.

10, а), если Р1 = 10 кН, Р2 = 15 кН, Р3 = 20 кН, d1 = 4 м, d2 = 2 м, d3 = 6 м.

Решени.

Определяем момент каждой пары сил:

М1 = 10 Н . 4 м = 40 Нм М2 = - 15 Н . 2 м = - 30 Нм М3 = - 20 Н . 6 м = - 120 Нм

Определяем момент результирующей пары:

37

3

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 40 – 30 – 120 = - 110 Нм

1

Пример 5. 2

На раму (рис. 5. 10, б) действуют три пары сил (Р1, Р1′), (Р2, Р2′), (Р3, Р3′), приложенных в точках А1, А2, А3 соответственно. Определить момент

результирующей пары, если Р1 = 10 Н, Р2 = 15 Н, Р3 = 20 Н, а плечи пар сил d1 =

0,4 м, d2 = 0,2 м, d3 = 0,6 м.

Решение

Определяем моменты пар сил:

М1 = Р1 . d1 = 10 . 0,4 = 4 Нм М2 = - Р2 . d2 = - 15 . 0,2 = - 3 Нм М3 = - Р3 . d3 = - 20 . 0,6 = - 12 Нм

Определяем момент результирующей пары:

3

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 4 – 3 – 120 = - 11 Нм

1

Пример 5. 3

На балку (рис. 5. 10, в) действуют три пары сил (Р1, Р1′), (Р2, Р2′), (Р3, Р3′), приложенных в точках А1, А2, А3. Определить момент результирующей пары,

если Р1 = 2 кН, Р2 = 3 кН, Р3 = 6 кН, а плечи пар сил d1 = 0,2 м, d2 = 0,4 м, d3 = 0,3 м.

Решение

Определяем моменты пар сил:

М1 = - Р1 . d1 = - 2 . 0,2 = - 0,4 кНм М2 = - Р2 . d2 = - 3 . 0,4 = - 1,2 кНм М3 = Р3 . d3 = 6 . 0,3 = 1,8 кНм

Определяем момент результирующей пары:

3

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = - 0,4 – 1,2 + 1,8 = 0,2 кНм

1

Пример 5. 4

Определить моменты результирующих пар, действующих на рамы (рис. 5. 10, г, д, е) самостоятельно.

39

5. 5. Сложение пар сил в пространстве

Теорема. Система пар сил, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих пар.

Доказательство

Докажем теорему для двух пар сил, плоскости действия которых I и II, а моменты М1 и М2 (рис. 5. 11, а). Преобразуем пары сил так, чтобы плечами их был отрезок АВ, лежащий на линии пересечения плоскостей. Получим две пары сил (Р1, Р1′) и (Q2, Q2′), имеющих одинаковые плечи и измененные соответствующим образом модули сил, которые найдем из соотношений

М1 = Р1 . АВ

М2 = Q1 . АВ

Сложив силы, приложенные в точках А и В, найдем их равнодействующие

R = Р1 + Q1

R′ = Р1 ′ + Q1′

Параллелограммы сил равны и лежат в параллельных плоскостях. Следовательно, равнодействующие R и R′ равны по модулю, параллельны и направлены в противоположные стороны, т.е. составляют результирующую пару (R, R′).

Найдем момент этой пары:

М = r х R = АВ х R = АВ х (Р1 + Q1) = АВ х Р1 + АВ х Q1 = М1 + М2

Следовательно, момент пары М равен геометрической сумме моментов М1 и М2 и изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах М1 и М2.

Если на твердое тело действует «n» пар сил с моментами М1 , М2 … Мn , то результирующая пара будет иметь момент, равный геометрической сумме моментов этих пар

n

М = ∑ Мi

i=1

5. 6. Условия равновесия системы пар сил

Для равновесия пар сил на плоскости необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех пар была равна нулю

n

∑ Мi = 0

i=1

Для равновесия пар сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма моментов всех пар была равна нулю

40

n

∑ Мi = 0

i=1

Пример 5. 5

Определить опорные реакции RА и RВ балки (рис. 5. 11, б), находящейся под действием двух пар сил, используя условия равновесия пар сил на плоскости.

Решение

1) Определим момент результирующей пары сил

М = М1 + М2 = - 40 + 30 = - 30 кНм Поскольку пара сил может быть уравновешена только парой, то реакции

RА и RВ должны составить пару сил. Линия действия реакции RВ определена (перпендикулярна опорной поверхности), линия действия реакции RА параллельна линии действия реакции RВ.

Примем направления реакций в соответствии с рис. 5. 11, б.

2)Определим момент уравновешивающей пары сил (RА , RВ)

М(RА , RВ) = МR = RА . АВ = RВ . АВ

3)Определим опорные реакции из условия равновесия пар сил

2

∑ Мi = 0 М + МR = 0

i=1

-30 + RА . 6 = 0

RА = 5 кН ; RВ = RА = 5 кН

Знак плюс указывает на правильное направление момента уравновешивающей пары сил (RА, RВ).

Пример 5. 6

Определить опорные реакции RА и RВ рамы (рис. 5. 11, в), находящейся под действием четырех пар сил, используя условия равновесия пар сил на плоскости.

Решение

1) Определим момент результирующей пары сил

М = М1 + М2 + М3 + М4 = - 10 – 40 + 80 - 20 = 10 кНм Поскольку пара сил может быть уравновешена только парой, то реакции

RА и RВ должны составить пару сил. Линия действия реакции RВ определена (перпендикулярна опорной поверхности), линия действия реакции RА параллельна линии действия реакции RВ.

Примем направления реакций в соответствии с рис. 5. 11, в.

2)Определим момент уравновешивающей пары сил (RА , RВ)

М(RА , RВ) = МR = RА . АВ = RВ . АВ = RА . 9

3)Определим опорные реакции из условия равновесия пар сил